对一道奥林匹克问题的四种简证及推广

王淼生

【摘要】通过对一道奥林匹克问题的四种简证及推广，阐述教材的重要性，尤其关注教材上的结论、范例、习题及其变式的应用与作用.

【关键词】简证；推广；教材

参考文献中的数学奥林匹克问题之163（高中），由宋庆先生提供并解答，看后深受启发，但其解答过程较复杂，笔者经研究，利用教材上基本的结论及变式得出四种简捷证法，供大家参考.

【摘要】通过对一道奥林匹克问题的四种简证及推广，阐述教材的重要性，尤其关注教材上的结论、范例、习题及其变式的应用与作用.

【关键词】简证；推广；教材

参考文献中的数学奥林匹克问题之163（高中），由宋庆先生提供并解答，看后深受启发，但其解答过程较复杂，笔者经研究，利用教材上基本的结论及变式得出四种简捷证法，供大家参考.

原题已知α为锐角，求证：1sinα+33cosα≥8.

证法1利用教材均值不等式，得到

1sinα+33cosα=1sinα+3cosα+3cosα+3cosα≥44(3)3sinαcos3α.

又(sinαcos3α)2

=13［(3sin2α)cos2αcos2αcos2α］

≤133sin2α+cos2α+cos2α+cos2α44

=13344，

于是得到1sinα+33cosα≥44(3)333342=4×2=8.

证法2利用教材算术平均数不小于调和平均数，得到

1sinα+33cosα=1sinα+3cosα+3cosα+3cosα

≥16sinα+3cosα

=8sinα+π3≥8.

证法3利用教材柯西不等式的变式：

a2c+b2d≥(a+b)2c+d，得到

1sinα+33cosα

=12sinα+323cosα

≥(1+3)2sinα+3cosα

=8sinα+π3≥8.

证法4只要证明122sinα+3223cosα≥4.

利用教材最基本的不等式a2+b2≥2ab（b∈R+）变式：

a2b≥2a-b，可得

122sinα+3223cosα

≥(2-2sinα)+(6-23cosα)

=8-4sinα+π3≥4.

以上等号成立当且仅当α=π6.

利用上述证法容易得到下列推广：

推广1若α为锐角，n∈N+，则

1sinα+nncosα≥(n+1)32，

等号成立当且仅当α=arctannn.

由题目的特征：sin2α+cos2α=1，还可以得到：

推广2若a，b∈R+，且a2+b2=1，则

1a+nnb≥(n+1)32，等号成立当且仅当ab=nn.

评注笔者一直在高三一线从事常规教学，同时作为一名奥赛教练，感触挺深！事实上，像这样利用教材上的范例、习题、结论及变式来解决国内外竞赛试题的例子确实挺多，如第36届国际数学奥林匹克试题：设a，b，c∈R+，且满足abc=1.证明：1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)≥32.

利用上述最基本的不等式a2+b2≥2ab（b∈R+）变式：a2b≥2a-b，可以得到极其简捷的证法.再如第31届IMO预选试题、第5、11届IMO试题等.由此看出高中数学常规教学与奥赛紧密相连，相辅相成，特别是随着新课改的深入，新教材的普遍使用，要求教师深入钻研教材，领会新一轮课改精神，充分利用、用好、用足教材上的结论、范例、习题及其变式，对于这一点，尤其应该引起高中教师、教练员和参赛选手的重视.

【参考文献】

数学奥林匹克问题［J］.中等数学，2005（10、11）.