洛必达法则在使用中常见的错误与注意事项

党婷 彭乃驰

笔者在独立学院从事微积分、高等数学以及大学文科数学教学多年，每每讲到求极限的最重要方法之一——洛必达法则时，常发现学生——特别是独立学院的学生，在使用这个法则时常会犯一些错误，在求解较难的极限题时往往感觉无从下手.针对这种现象，笔者在多年从事教学的经验基础上，总结了在洛必达法则使用过程中独立学院的学生常见的错误与注意事项.本文对独立学院的学生以及在独立学院从事微积分、高等数学与大学文科数学教学的教育工作者都有很高的参考价值，对二本、一本的学生与教育工作者也有一定的参考价值.

一、洛必达法则在使用过程中常见的错误

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洛必达法则使用的形式应当是：f(x)g(x)→f′(x)g′(x)，即这个公式应当是对商才好用的一个公式，而且是把商的分子与分母分别求导.但是，有些学生在使用这个公式时往往不注意这一点，比较常见的不顾形式，随便乱用的情形如下：

（1）误用成f(x)g(x)→f′(x)g′(x).

例如：求limx→+∞xπ2-arctanx.有些学生误解成：

原式=limx→+∞x′π2-arctanx′=limx→+∞-11+x2=0.

（2）误用成f(x)→f′(x).

例如：求limx→0+xlnx.

有些学生误解成：原式=limx→0+(xlnx)′=limx→0+(lnx+1)=-∞.

（3）误用成f(x)g(x)→f(x)g(x)′.

针对以上种种现象，教师在讲解该知识点时，一定要对学生强调洛必达法则是对商才好用的一个公式，而且这个公式与商的导数公式完全不同.把这一点讲清楚后，后面在讲到用洛必达法则求0·∞，∞-∞，1∞，00，∞0等型的未定式的极限问题时，就可以很自然的让学生想想：求以上这些形式的未定式极限问题的关键是什么？当然是先化成商的形式，再去使用洛必达法则.

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洛必达法则使用的条件有三条，其中在使用过程中需注意的有两条：①f(x)g(x)为00型或∞∞型；②f′(x)g′(x)的极限存在或为∞.但是，有些学生在使用这个公式时不注意以上条件随手使用，又导致了错误.

（1）不注意f(x)g(x)为00型或∞∞型的条件.

例如：求limx→0ex-1x2-x.有些学生误解成：

原式=limx→0ex2x-1=limx→0ex2=12.错误的原因在于第一次使用完洛必达法则后，所得到的极限limx→0ex2x-1已经不再为00型或∞∞型，继续使用这个法则，当然就导致了错误.

（2）不注意f′(x)g′(x)的极限存在或为∞的条件.

例如：求limx→0x2cos1xln(1+x).

有些学生误解成：原式=limx→02xcos1x+sin1x11+x，故原极限不存在.错误的原因在于使用一次洛必达法则后所得到的极限limx→02xcos1x+sin1x11+x是振荡不存在的，所以本题根本就不能使用洛必达法则来求.

二、洛必达法则在使用过程中应当注意的事项

把使用洛必达法则的两种常见错误——不顾形式与不顾条件讲清楚后，一般就能保证学生能够作出相对较简单的洛必达法则求极限的题目，但是要想让学生对这种法则掌握得更加深入，还能作出相对较难的洛必达法则求极限的题目，则还需要对学生强调以下两点注意事项：

1比鬴′(x)g′(x)仍满足法则条件，可连用本法则

例1求limx→+∞ln(x+ex)x.

解原式=limx→+∞1+exx+ex=limx→+∞ex1+ex=limx→+∞exex=1.

本题连续使用了三次洛必达法则，最后才得出了正确的答案.

2备梅ㄔ虺Ｓ氲燃郾湫巍⒅匾极限及等价无穷小代换等其他求极限的重要方法一起使用

例2（2012年数三，三（15））求limx→0ex2-e2-2cosxx4.

本题是2012年数学三第三大题第（15）小题，在解答过程中，只有“(4)”与“(6)”两步是用到了洛必达法则，“(3)”与“(7)”两步用的是等价无穷小代换，其他几步用的是等价变形.像这种较复杂的题目，只用洛必达法则往往很难得出正确答案.

三、结束语

本文到此已经结束，但是并不意味着洛必达法则的使用我们已经研究透彻了，比如，能否用洛必达法则证明重要极限limx→0sinxx=1？若能，我们的教材是否应当改写？若不能，这个极限limx→0sinxx确实满足洛必达法则所有的三个条件，这是否意味着一般教材所列的洛必达法则的三个条件还不够，还存在第四个条件？这些问题都是我们以后需要进一步研究的问题.