运用“△”解题分类例谈

王新艳

【摘要】笔者在教学时发现苏科版九年级上册把一元二次方程根的判别式安排在用公式法解一元二次方程一节课内容之中，课本只作简单的介绍，学生综合运用能力比较薄弱，因此在中考第一轮复习备课时，我仔细研究教材和历年的中考试题，分类例谈它的运用.

【关键词】一元二次方程；根的判别式Δ=b2-4ac；拓展延伸；归纳总结

一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数，a≠0),当Δ=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ=b2-4ac＜0时，方程没有实数根.反之亦成立.把Δ=b2-4ac称为根的判别式，本文将对运用“Δ”解题进行探讨.

一、不解方程，判断方程根的情况

例1（2010年上海）已知一元二次方程x2+x-1=0，下列判断正确的是().

A备梅匠逃辛礁鱿嗟鹊氖凳根

B备梅匠逃辛礁霾幌嗟鹊氖凳根

C备梅匠涛奘凳根

D备梅匠谈的情况不确定

分析计算Δ=b2-4ac的值，判断方程根的情况.

解∵Δ=b2-4ac=12-4×1×（-1）=5＞0，

∴原方程有两个不相等的实数根.故选B.

拓展延伸观察题中a，c的符号有什么特点及符合这一特点的方程根的情况.

归纳总结判断数字系数的一元二次方程根的情况先计算Δ=b2-4ac的值，再判断方程根的情况，其中a，c异号时，一元二次方程一定有两个不相等的实数根.

例2（2008年山东威海）关于x的一元二次方程x2-mx+(m-2)=0的根的情况是（）.

A庇辛礁霾幌嗟鹊氖凳根

B庇辛礁鱿嗟鹊氖凳根

C泵挥惺凳根

D蔽薹ㄈ范

分析计算“Δ”的值，判断出方程根的情况；在解题时要能对根的判别式进行配方是本题的关键.

解∵关于x的方程x2-2mx+(m-2)=0中，

Δ=m2-4×（m-2）=m2-4m+8=（m-2）2+4＞0，

∴无论m为任何实数，方程都有两个不相等的实数根.故选A.

拓展延伸已知：关于x的方程mx2-(3m-2)x+2m+2=0，求证：方程总有实数根.

归纳总结判断字母系数方程的根的情况的关键：(1)对二次项系数要分类讨论，先确定方程的类型；(2)再对根的判别式配方，确定Δ的符号，判断方程根的情况.

二、已知方程根的情况，求未知的字母系数的取值范围

例3（2011年重庆江津区）已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）.

分析根据方程有两个不相等的实数根得出Δ＞0，注意二次项系数a-1≠0.

解Δ＝4-4（a-1）＝8-4a＞0，得a＜2.

又a-1≠0，∴a＜2且a≠1.故选C.

拓展延伸如题目改为：若方程（a-1）x2-2x+1＝0有实数根，求a的取值范围？

归纳总结根据方程根的情况，确定待定系数的范围：（1）对二次项系数要分类讨论，先确定方程的类型；（2）再根据方程根的情况，列出不等式或方程；（3）解不等式或方程.

三、抛物线与x轴的交点问题

抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0),令y=0，得ax2+bx+c=0，方程的解就是抛物线与x轴交点的横坐标，因此当Δ=b2-4ac＞0时,抛物线与x轴有两个交点，抛物线与x轴相交；当Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点，抛物线与x轴相切；当Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点，抛物线与x轴相离.反之亦成立.

例4（2011年江苏南京）已知函数y=mx2-6x+1（m是常数）.

（1）求证：不论m为何值，该函数的图像都经过y轴上的一个定点；

（2）若该函数的图像与x轴只有一个交点，求m的值.

分析（1）根据解析式可知，当x=0时，与m值无关，故可知不论m为何值，函数y=mx2-6x+1的图像都经过y轴上一个定点（0，1）.

（2）应分两种情况讨论：①当函数为一次函数时，与x轴有一个交点；②当函数为二次函数时，利用根的判别式解答.

解（1）（0，1）.

（2）①当m=0时，函数y=-6x+1的图像与x轴只有一个交点；

②当m≠0时，若函数y=mx2-6x+1的图像与x轴只有一个交点，则方程mx2-6x+1=0有两个相等的实数根，所以Δ=（-6）2-4m=0，m=9.

综上所述，若函数y=mx2-6x+1的图像与x轴只有一个交点，则m的值为0或9.

拓展延伸题中抛物线与x轴只有一个交点，这个交点会是抛物线的什么点？抛物线与x轴有两个交点时，这两个交点之间的距离如何求呢？说说自己的想法.

归纳总结抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点取决于Δ=b2-4ac的值，并且与x轴只有一个交点时，这个交点一定是抛物线的顶点，有两个交点时，两交点距离=Δ|a|.

四、抛物线与直线的交点问题

直线y=kx+m(k，m是常数，k≠0)与抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)交点的坐标即是方程组y=kx+m，

y=ax2+bx+c的解，消去y得一元二次方程ax2+bx+c=kx+m，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=kx+m的根，因此一元二

次方程ax2+bx+c=kx+m根的情况就决定了直线y=kx+m与抛物线y=ax2+bx+c交点的个数，当Δ=b2-4ac＞0时，直线与抛物线有两个交点，直线与抛物线相交；当Δ=b2-4ac=0时，直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线相切，直线是抛物线的切线；当Δ=b2-4ac=0时，直线与抛物线没有交点，直线与抛物线相离.反之亦成立.

例5（2008年湖南益阳）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图，点A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，-3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1，0)，半圆半径为2.

(1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；

(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；

(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.

分析（1）由A，B，D三点坐标求出抛物线解析式.

（2）连接CM,作CE⊥CM交x轴于E,直线CE就是半圆的切线.

（3）Δ=0时，直线与抛物线相切.

解（1）由题意可知A(-1,0)，B(3,0)，D(0,-3)，抛物线为y=x2-2x-3,-1≤x≤3.

(2)连接CM,作CE⊥CM交x轴于E,直线CE就是半圆的切线.

∵OM=1,CM=2，∴OC=3，即C(0,3).

由题意可知△CEO∽△MCO,OE=3，即E（-3,0）.

∴直线CE的解析式为y=33x+3.

（3)设过D(0,-3)的切线为y=kx-3,则抛物线y=x2-2x-3与直线y=33x+3有且只有一个交点，即方程x2-2x-3=33x+3有两个相等的实数根，Δ=0，∴k=-2,过点D的切线为y=-2x-3.

拓展延伸a取何值时，抛物线y=ax2+2x+4与直线y=-2x有一个交点、两个交点、没有交点？

归纳总结直线与抛物线交点的问题转化为一元二次方程根的问题，根的判别式Δ=b2-4ac的值决定了直线与抛物线交点的个数.反之亦成立.

根的判别式Δ=b2-4ac在代数式变形、解方程（组）、解不等式、研究函数乃至几何、三角运算中都有广泛的应用，由于篇幅有限，笔者只是粗浅地谈了它的四个应用，未尽之处，敬请谅解.