及时调整视角,寻找解题思路

李富权

观察客观事物，必须从不同角度、不同的方位审视它才能认识事物的本质，解数学题也是如此.所谓一题多解、多题一解，其实质都是一个视角的问题.同一道题目，有时看起来困难重重，无从下手，变换一个角度审视它却一目了然，易如反掌.因此，在解题过程中，如果能灵活自如、不失时机地调整视角，不但可以曲径通幽，“难”题不难，而且能独辟蹊径，达奇思妙解之效果.

一、对同一数学表达用不同的“眼光”去观察，用不同的观点去分析

在解题过程中，如果能用不同的眼光审视同一个表达式，从不同的角度理解它，联想它在不同学科中的含义，就能迅速找到解题“入口”，得到各种解法.

例1已知函数f(x)＝1+x2（x∈R），试证明：|f(a)-f(b)|≤|a-b|.

证法1用三角代换思想去观察表达式1+x2，可联想到关系式1+tan2θ=sec2θ，问题变为证明|secθ1-secθ2|≤|tanθ1-tanθ2|，这比直接证原题容易多了.

证法2用解析几何的观点去观察f(x)=1+x2表示的是双曲线y2=x2+1的上半支，而|f(a)-f(b)||a-b|是曲线上两点(a，f(a))和(b，f(b))连线斜率的绝对值，而双曲线的渐近线的斜率正好为±1，这个问题极易解决.

证法3在平面直角坐标系中，1+x2可看做点(x，1)到原点的距离，则|f(a)-f(b)|≤|a-b|的含义就是平面内三角形两边之差不大于第三边，这是明显的事实.

证法4从复数的角度去看待1+x2，联想到复数z=x+i(或z=1+xi)的模，因而证明不等式|f(a)-f(b)|≤|a-b|就是证明复数模不等式||z1|-|z2||≤|z1-z2|.

二、注意“背景”和“对象”的转换

在解数学题的过程中，由于思维定式的影响，人们在解决多个变量问题时，往往先入为主地把某一类“变元”确定为对象，而把其他变元置于“背景”地位，这样做在通常情况下可行，但在某些情况下则很困难，这时，若能及时交换“对象”和“背景”的位置则很可能轻易得解.

例2解关于x的方程：x4-2ax2+x+a2-a=0.

习惯上，我们总是以x为方程的未知量，这个四次方程是不好求解的，若视为关于a的二次方程，a2-a(2ax2+1)+(x4+x)=0，显然可分解为(a-x2-x)(a-x2+x-1)=0，从而有x2+x-a=0或x2-x+(1-a)=0.对a讨论，这两个二次方程不难解出.

例3若a2+b2=1，a，b均不为0，求证：a+1a2+b+1b2≥9.

此题人们常用不等式性质、换元法等去解，但事实上可以把点A(a，b)看做在直线ax+by=1上，点P-1a，-1b到点A的距离不小于它到直线ax+by=1的距离，即a+1a2+b+1b2≥a-1a+b-1b-1a2+b2=3，所以a+1a2+b+1b2≥9.

三、排除干扰因素，摄取“特写镜头”

解某些数学题时，常采取集中条件，排除干扰，摄取“特写镜头”，如多项多乘除的竖式运算的分离系数法、解线性方程组的行列式法或矩阵法.在立体几何中，这种方法更有用武之地，因为在空间图形中，往往存在一些特殊的平面，它们能把题目中分散关系集中于其上，能把已知条件和结论挂上钩，能把条件中隐含的有关图形性质显示出来，只要找到了这样的平面，就可以把它们从原立体图中隔离出来，画成真实直观的平面图形成为“特写镜头”，从而用平面几何方法解决原题.

例4如图，已知三棱锥P-ABC的侧棱PA，PB，PC上分别有一点A1，B1，C1且满足PA1PA=mn，PB1PB=pq，PC1PC=rs.又知三棱锥P-ABC的体积等于V，求三棱锥P-A1B1C1的体积.

解考虑三棱锥C1-PA1B1和三棱锥C-PAB，则PC1∶PC=r∶s，可知C1到底面PA1B1的距离与C到底面PAB的距离之比为r∶s.

总之，调整视角对于寻求解题契机，培养思维的灵活性，提高数学能力具有十分积极的作用，我们应该进行这方面的学习和训练.