浅谈数学教学中的模型构建

王清德

随着科学技术的飞速发展和计算机的广泛应用，数学日益成为一种技术，其手段就是计算机和数学模型的构建.在教学过程中如何适当引导学生进行数学建模，不仅可以使学生体会到数学并非只是一门抽象的学科，而且可以使学生感受到利用数学模型构建的思想结合数学方法解决实际问题的妙处，进而对数学产生更大的兴趣.

下面结合本人教学实践，谈几种常见数学模型的构建方法，与同行们共切磋.

一、方程与不等式模型

这类型的数学模型的构建，常以市场经济为背景，或以环保、当前时事为载体，综合各种代数知识考查分析、综合与分类讨论的能力.

例1国家为了关心广大农民群众，增强农民抵御大病风险的能力，积极推行农村医疗保险制度，某市根据本地的实际情况，制定了纳入医疗保险的农民医疗费用报销规定，享受医保的农民可到定点医院就医，在规定的药品品种范围内用药，由患者垫付医疗费用，年终到医保中心报销、医疗费的报销办法：

报销比例标准不予报销70%80%

（1）设某农民一年的实际医疗费为x元（500

（2）若某农民一年内自付医疗费为2600元（自付医疗费=实际医疗费-按标准报销的金额），则该农民当年实际医疗费为多少元？

（3）若某农民一年内自付医疗费不少于4100元，则该农民当年实际医疗费至少为多少元？

评析解决本题关键是准确获取图表中的信息，抓住自付医疗费为2600元及不少于4100元，把生活中的问题转化为数学问题——方程或不等式的模型，同时把实际医疗费分段进行讨论.

解（1）y=710（x-500）(500

（2）设该农民一年内实际医疗费为x元，则当x≤500时，不合题意.

当500

答：该农民一年内实际医疗费为7500元.

（3）设该农民一年内实际医疗费为x元.

∵500+（10000-500）×0.3=3350<4100，∴x>10000.

∴500+（10000-500）×0.3+（x-10000）×02≥4100，解得x≥13750.

答：该农民当年实际医疗费至少为13750元.

二、方程与函数模型

函数与方程是中学代数的重点，它主要以函数为主线，建立函数图像及性质，相关知识的综合，提炼并构建方程模型或函数模型.

例2通过实际研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标数y随时间x（min）变化的函数图像如图（y越大表示注意力越集中），当0≤x≤10时，图像是抛物线的一部分；当10≤x≤20和20≤x≤40时，图像是线段.

（1）当0≤x≤10时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式.

（2）一道数学综合题，需要讲解24 min，则老师能否经过适当安排，使学生听这道题时，注意力的指标数都不低于36？

评析此问题是发生在学生身边的实际问题，先建立两个函数关系式的数学模型，然后利用数形结合，运用待定系数构造几个方程，使问题得到解决.

解（1）设0≤x≤10时的抛物线为y=ax2+bx+c，由图像知抛物线过（0，20），（5，39），（10，48）三点，

∴c=20，

25a+5b+c=29，

100a+10b+c=48，解得a=-15，

b=245，

c=20.

∴y=-15x2+245x+20(0≤x≤10).

（2）设20≤x≤40时，直线解析式为y=kx+m，由图像知直线过（20，48），（40，20）两点，

∴20k+m=48，

40k+m=20，解得k=-75，

m=76.∴y=-75x+76.

当0≤x≤10时，令y=36，得36=-15x2+245x+20，

解得x1=4，x2=20（舍去）；

当20≤x≤40时，令y=36，得36=-75x+76，

解得x=2007=2847.

因为2847-4=2447>24，所以老师可以通过适当安排，在学生的注意力指标数不低于36时，讲授完这道数学综合题.

三、几何模型

《新课程标准》理论指导下的基础课程，在几何内容的设置上，着重加强“几何模型构建及其探究过程，培养应用能力”等方面的内容.因此，考查学生建立几何模型解决问题能力的试题已日益受到中考命题专家的青睐和使用，此处不再举例说明.

总之，数学模型的构建是解决问题的过程，也是一个实际问题转化为数学问题的过程.在这一过程中，数学模型构建是关键，也是难点.解题时应注意：（1）仔细审题，理解实际背景材料和所掌握的信息，对问题作出简化，并且提出假设.（2）数学模型的构建，将实际问题利用数学工具寻求有关事物之间的联系转化成为数学问题来解决.（3）求解数学模型与检验，从而得到实际问题的解答.

【参考文献】

张帮球.浅谈初中数学模式的建立［J］.教师（理论研究版），2009(2).