浅议中学数学中的数形结合思想

马春彦

数形结合是中学数学重要的基本思想方法之一，是数学的本质特征.在解决数学问题时，将抽象的数学语言同直观的图形相结合，实现抽象的概念与具体形象的联系和转化，使数与形的信息相互渗透，可以开拓我们的解题思路，使许多数学问题简单化.新教材打破了原来的代数、几何分家的现象，不仅从形式上把代数、几何统一编排，而且在内容的处理上也提出明确的要求，在很大程度上也体现了数形结合的思想.教师要充分利用教材，着力培养学生形成数形结合的思维.

一、应用数形结合思想应注意的几个问题

数与形是中学数学研究的两类基本对象，相互独立，又互相渗透.尤其在坐标系建立以后数与形的结合更加紧密，而且在数学应用中若就数而论，缺乏直观性，若就形而论缺乏严密性，当二者结合往往可优势互补，收到事半功倍的效果.

（1）要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；

（2）要恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；

（3）要正确确定参数取值范围的作用.

二、数形结合在中学数学中的主要应用

数形结合思想贯穿于高中数学的始终，它是数学思想方法的核心，中学数学中的多项内容都用到数形结合，教师要引导学生对此加以灵活应用.

1笔形结合在集合中的应用

在新课标必修1的《集合》中，对于集合的各种运算和关系，如果能借助韦恩图，便能使问题直观、具体，从而更好的解决问题.

例1有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？

2笔形结合在函数中的应用

函数是高中数学的主要内容，它在高中数学中的地位和作用毋庸言表，在这章，数形结合思想的应用尤为广泛.利用二次函数图像解二次方程、二次不等式，有关指数函数、对数函数单调性应用，方程和不等式问题等都需结合两类函数的图像；近几年加大对三角函数图像的考查，顺利解决这类问题最主要就是看识图画图能力.

如一些数值大小的比较，我们可转化为对应函数的函数值，利用它们的图像的直观性进行比较.

例2试判断032，log203，203三个数之间的大小顺序.

分析这三个数我们可以看成三个函数：y1=x2，y2=log2x，y3=2x，在x=03时，所对应的函数值.在同一坐标系内作出这三个函数的图像(如图)，从图像可以直观地看出当x=03时，所对应的三个点P1，P2，P3的位置，从而可得出结论：203>032>log203.

3笔形结合在向量部分的应用

向量的加法、减法可以通过平行四边形法则解决，由此很多向量问题可以转化为几何问题，借助几何图形快速解决.

4笔形结合在数列中的应用

等差数列、等比数列都可以看做关于n的函数，特别是等差数列.通项公式an是关于n的一次函数，前n项和Sn是关于n缺常数项的二次函数，在解决等差数列中的最值问题时尤为好用.

5笔形结合在解析几何中的应用更无须多言

解决这类问题首先要画图定位.华罗庚曾指出：“三角与解析几何有极多的数形结合处.”可见数形结合思想在这章的重要性.

三、如何在课堂教学中渗透数形结合思想

1鄙透数形结合思想要有层次地进行

数学思想方法的内容相当丰富，任何一种数学知识的讲解及数学思想的渗透都要注意学生的接受能力，认真钻研课标和教材，结合学生实际，配备不同的例题，调动全体学生的学习积极性，由易到难，由浅入深，渗透数形结合这一数学思想.

2钡鞫学生的积极性，提高渗透的自觉性

数学概念、公式等知识都明显地写在教材中，是有形的，而数学思想却隐含在数学知识体系里，是无形的，并且不成系统地分散于教材各章节中.因此，作为教师首先要更新观念，从认识和思想上不断提高在数学课堂教学中渗透数学思想方法的重要性，把掌握数学知识和渗透数学思想方法同时纳入教学目标，把数学思想方法的渗透要求融入教学设计中.其次要深入钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数形结合思想方法渗透的各种因素，对于可以应用数形结合的每一章每一节，都要考虑如何结合具体内容进行这一思想的渗透.同时要让学生明白数形结合这一数学思想的重要性，在学习过程中提高自我学习的意识.

3狈锤囱盗罚不断总结反思，确保学生掌握数形结合这一数学思想

使学生形成数形结合的数学思想，必须经过循序渐进和反复训练，才能使学生真正地有所领悟和掌握.教师的提炼和概括是十分重要的，教师还要有意识地培养学生自我提炼、揣摩、概括数学思想方法的能力，还应在适当的时候进行“画龙点睛”式地总结，这样才能把数学思想方法的渗透落在实处.