二次函数习题的改造

吴允浦

函数的概念比较抽象，思想方法难于理解，习题错综复杂，学生学习起来感到比较困难，在教学实践中，笔者发现，如果能够对部分传统的函数例题、习题进行改造，则往往可以极大地调动学生解决数学问题的兴趣以及学习数学的积极性，进而培养学生的数学解题能力.现对二次函数的部分习题做适当的改造，并加以简单介绍.

一、封闭性问题的开放性改造

以问题状态（条件、过程和结论）的明确程度为依据，可将数学问题分为封闭性和开放性两个问题.平时所见的大部分问题属于封闭性问题，而开放性问题对于发展学生的个性、优化学生的思维品质，特别是训练学生的发散性思维、创造性思维有着重要意义.对于封闭性问题，如果我们在认清题目的实质下对于问题的条件、结论或者过程予以适当修改，则可以使其具有一定的开放性.

题1求函数f(x)=(x-1)2对称轴、最值、单调性.

单纯求二次函数的最值、单调性，难于培养学生发散性思维和创造性思维，如果将此题的结论作为条件，可以改编成开放性问题，不仅调动了学生的学习兴趣，而且使每名学生的思维能力都得到较大的发展.

题2老师给出一个函数y=f（x），四名学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质.

甲：对x∈R，都有f(1-x)=f(1+x).

乙：在（-∞，0］上是减函数.

丙：在［2，+∞)上是增函数.

丁：f（0）不是函数的最值.

如果其中恰好有三名学生说得正确，请写出这样一个函数.

适当放宽限制条件，使得问题存在多种答案，具有一定的开放性，从而调动了学生的思维积极性.

题3已知函数f（x）=asin2x+bsinx+c（a，b，c均为实数）.

（1）当b=1时，对任意实数x，使f(x)≠0，求a，c满足的条件；

（2）当a+c=0时，求证：存在一个实数x，使f(x)=0.

此题是比较典型的二次函数零点问题，如果能放宽数学背景，增加适当的实际情景，可将此题改编为一道开放性较强的问题.不仅增加了数学的趣味性，而且培养了学生的探索能力.

题4已知函数f（x）=asin2x+bsinx+c，其中a，b，c为非零实数.甲、乙两人做一游戏，他们轮流确定系数a，b，c（如：甲令b=1，乙令a=-2，甲再令c=3）后，如果对任意实数x，使f(x)≠0，那么甲获胜；如果存在一个实数x，使f(x)=0，那么乙获胜.

(1)甲先选数，他是否有必胜策略？为什么？

(2)如果a，b，c是任意实数，结果如何？为什么？

二、常规型问题的探索性改造

以问题解决者的知识经验为依据，可以将数学分为常规性问题与探索性问题.平时所见到的例、习题大部分是常规性问题，而探索性问题对于培养学生的探究能力，激发学生的学习兴趣与主动性有着常规性问题不可比拟的作用，改变常规问题的条件、结论或者设问方式就可以引导常规性问题改编为探索性问题.

题5已知函数f(x)=-ax4+(2a-1)x2+1，当a=-130时，求f(x)的单调区间.

考虑到a的任意性，我们可以用逆向思维，运用设问方式，将此题改变为探索性问题.

题6已知函数f(x)=-ax4+(2a-1)x2+1，问是否存在a(a<0)，使得f(x)在区间(-∞，-4］上是减函数，且在区间(-4，0)上是增函数？若存在，求出a；若不存在，请说明理由.

题7已知二次函数f(x)=-12x2+x，x∈［m，n］(m

这是一道单纯性二次函数在闭区间上的最值问题，探究性不强，我们不妨增加已知条件，改编为下述具有一定探究性的问题.

题8已知二次函数f(x)=-12x2+x，是否存在实数m，n(m

三、纯粹性问题的应用性改造

以问题性质的数学过程（抽象、变换、应用）为依据，可以将数学问题分为纯粹性问题和应用性问题.平时所见的例、习题大部分是纯粹性问题，而应用性问题对于培养学生的数学建模能力、分析问题与解决问题能力都有着不可替代的作用.对于一些纯粹性问题，如果能够结合具体的生活、生产实践，赋予一定的实际情景，则可以将其改变为应用性问题.

题9求函数y=x+9x（x>0）的最值.

此题可看做特殊二次函数y=x-3x2+6(x>0)为载体给予一定的实际背景，将此题改编为方案优化型的应用问题.

题10制作一个容积为18 m3，深为2 m的长方体无盖水池.若池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，求水池最低造价？

题11已知函数y=kx1-xm(k>0)，定义域为（0，m）.

(1)求函数的最值；

(2)当0

以y=kx1-xm为载体设计适当的实际背景的文字表述，可以将此题改编为应用性较强的实际问题.

题12渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，要保证鱼群的生长空间.已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空间率的乘积成正比，比例系数为k（k>0）.

(1)求y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；

(2)求鱼群年增长量的最大值；

(3)当鱼群的年增长量达到最大时，求k的取值范围.

总之，适当改造传统例、习题确实能调动学生的学习兴趣，提高学生分析问题和解决问题的能力，但不恰当的改造不仅没有带来益处，反而给学生带来新的负担.因此，哪些传统数学问题可以改造，如何改造，改造后如何应用于数学教学，这些问题需要我们不断地探索.

【参考文献】

顾泠沅.改造我们的学习.数学通报，2000（7）.