例说三角函数几种常用的解题技巧

王晚英

【摘要】“三角函数”是中专数学的重要组成部分，同时它又是学习高等数学的基础知识.而掌握三角函数的解题技巧能增强学习三角函数知识的信心，本文通过举例说明三角函数的一些解题技巧.

【关键词】三角函数；解题；技巧

“三角函数”是中专数学的重要组成部分，它应用于很多理工专业如模具设计、机电、数控等专业的教学中，同时它又是学习高等数学的基础知识.因此学好“三角函数”是中专数学最重要的一环，而提高三角函数题型的解题能力能增强学好三角函数知识的信心，本文根据多年的教学实践就三角函数几种常用的解题技巧例说如下：

一、切割化弦

是将题中出现的正切、余切函数，正割、余割函数均化为正弦、余弦函数.

例1化简sin50°(1+3tan10°).

分析题目中含有正弦、正切，采用“切化弦”，变为仅含有正弦、余弦的三角式，然后采用引入辅助角的方法，利用两角和公式、倍角公式等变化手段将问题化简到底.

二、化弦为切

应用万能公式或将题目进行适当变形把题中所给的正弦、余弦函数化为正切、余切函数，这样就可以把问题转化为以tan为变量的“一元有理函数”，实现三角问题向代数问题转化.

例3已知tanα=2，求4sinα-2cosα5cosα+3sinα的值.

分析由已知条件可知cosα不可能为0，所以分子分母可同时除以cosα，把弦转化成切，进而把tanα的值代入式中，即可求得答案.

解原式4sinα0-2cosαcosα5cosα+3sinαcosα=4tanα-25+2tanα=611.

例4已知2sinθ+cosθsinθ-3cosθ=-5，求3cos2θ+4sin2θ的值.

分析将已知条件中正弦、余弦三角函数化为正切函数，从而解出tanθ，然后运用三角函数万能公式将所求的三角函数式用tan表示，即可解题.

解∵2sinθ+cosθsinθ-3cosθ=-5，∴cosθ≠0（否则2=-5）.

∴2tanθ+1tanθ-3=-5，解得tanθ=2.

∴原式=3(1-tan1θ)1+tan2θ+4×2tanθ1+tan2θ=75.

三、角的转化

将题中的倍角、半角和（差）角化为单角，或者确定某一种角作为基本量，将其它形式的角转化为这种形式的角，这有利于解题.

例5求sin20°cos70°+sin10°sin50°的值.

分析根据三角函数结构及角度特点，可利用积化和差公式，这样会出现特殊角的函数值，还可以出现正负相消的项，从而达到求值目的.

解原式=12［sin(70°+20°)-sin(70°-20°)］-

四、升幂降幂

公式2cos2α-1=1-2sin2α=cos2α，sin2α+cos2α=1等逆顺运用可使三角函数式进行升降次，从而达到化简、证明、求值的目的.

例6化简1-cos4α-sin4α1-cos6α-sin6α.

分析化简就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能简单，项数尽可能少，次数尽可能低，分母中尽可能不含三角函数符号，能求值一定求值.