发掘高中数学新教材中的“探究与思考”的作用

肖庆国

【摘要】在“有用的数学”“身边的数学”的思想指导下，改进了过于强调知识结构的严谨性、深刻性的不足，更强调知识的发生发展过程，关注知识的内在规律；突出数学知识与时代发展的联系；尊重学生个体对数学知识不同层次的需求与选择.如何充分挖掘教材中的“探究与思考”的作用？通过本人近几年的教学实践，教材中的“探究与思考”起着创设问题情境作用，能利用“探究与思考”开展研究性学习，能利用“探究与思考”培养学生的解题能力，利用“探究与思考”在课堂教学中具有铺垫衔接的作用.

【关键词】教材；探究与思考；作用

新课程实施以来，高中数学新教材与老教材相比增设了许多“探究与思考”的内容，发现新教材能关注学生数学发展的不同需求，内容设计上注意弹性，在保证基础的前提下为不同的学生提供不同的发展空间，为此，教材开发“观察与猜想”“阅读与思考”“探究与思考”等栏目的内容，为学生提供了一些具有探索性、拓展性的内容，通过“观察”“思考”“探究”、边空设问、留白填空等方式，引导学生的探索活动，为他们提供自主学习的空间.通过本人近几年的教学实践，就如何发掘新教材中的“探究与思考”的作用及其教学价值，谈谈自己的看法.

一、利用教材中的“探究与思考”创设问题情境

从数学学习的认知本质来看，数学学习离不开情境，从数学课程及数学学习的特点看，情境化设计愈来愈显示出重要性和必要性，然而，我们不能为情境而情境，更不能虚拟“游离于教学之外”的情境，因此，我们要充分挖掘教材中的“探究与思考”的作用，利用“探究与思考”创设问题情境.

案例1人教版《数学》必修1中的“3.1.2用二分法求方程的近似解”一课中的“思考”：一元二次方程可以用公式求根，但没有公式可用来求方程lnx+2x-6=0的根，联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求它的根呢？

从而设置：

问题1方程lnx+2x-6=0有解吗？

问题2能求出它的近似解吗？（教师给予学生思考的时间，特别注意课堂的变化.预设两种情况：第一，让学生谈谈思考的方向；第二，如果学生思路仍然受阻，进一步启发，出示问题3.）

问题3能否以上堂课为出发点找到一个求解的方案？学生：可以转化为求y=lnx+2x-6的零点问题，用“试值法”可以发现f(2)<0，f(3)>0，因此在区间（2，3）有零点.从而引出新课.

案例2人教版《数学》必修4“221向量加法运算及其几何意义”中可以利用书本中的探究问题，出示位移的合成、力的合成背景.

放投影片，出示位移的合成、力的合成背景.

（1）如图1，某对象从A点经B点到C点，两次位移AB，BC的结果，与A点直接到C点的位移AC结果相同.

（2）如图2，表示橡皮条在两个力F1，F2的作用下，沿GE的方向伸长了EO，与力F的作用结果相同.

位移AB与BC合成为AC，力F1与F2的合成为F，那么它们的合成方法一致吗？合成的含义是什么？

通过位移合成的三角形法则，力的合成的平行四边形法则，理解矢量合成的含义，归纳抽象出向量加法的意义.

数能进行运算，因为有了运算而数的威力无穷，与数的运算类比，向量是否也能进行运算呢？人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算，观察投影片中位移合成、力的合成问题，启发学生思考向量如何合成，从而引出新课.

创设情境从已有的知识背景出发，以激发学生的好奇心和学习兴趣，引起学生的求知欲望为目标，这样才不会使学生对数学感到枯燥、乏味、缺少趣味，才能使学生学习数学的兴趣和自信心大增，才能使学生的数学思维能力和分析问题、解决问题的能力得到提高，才能使学生对数学产生良好的情感与态度.

二、利用教材中的“探究与思考”开展研究性学习

有位数学家说过:“数学知识不是教出来的，而是研究出来的.”新课标下每节课的引言前都有探索问题，

案例3新课标《数学》必修1第80页探究题：在指数函数y=2x中，x是自变量，y为因变量.如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由.随着y=2x和x=log2y的研究，可以发现x是y的函数，同时也发现了两者图像间的关系(关于y=x对称)，进而得到了指数函数与对数函数是一组互为反函数:互为反函数的两图像是关于y=x对称.

再探索，比如说知道了y=x3-1，作关于y=x的对称图像，那么它的解析式是什么?进而去研究：关于y轴对称呢?x轴对称呢?原点呢?然后学生一一作答.这样既搞清了反函数的概念，又弄清了图像间的一些关系.

案例4在高一新课标《数学》必修1第71页中，探究与发现内容“购房中的数学”，这是数列的应用内容，教师可以好好应用这一内容开展研究性学习.要上好这一内容，老师可以在课前布置一些作业，让学生去查阅资料，搞清几个概念，如“什么是教育储蓄？”“什么是助学贷款？”“等额本金与等额本息两种贷款方式的区别？”等.学生的准备工作做充分了，那么老师在课堂上就容易展开讨论，让学生们能同时享受到自己和别人的调查结果.当老师在课堂内用例子让学生用两种不同的贷款方式计算后，学生就能更好地了解和掌握等额本金和等额本息的贷款方式，当然最重要的是让学生体会到了等差数列和等比数列的实际应用.

课后，老师可以布置类似的练习题用来巩固知识，同时可以布置一些特殊的作业，如让学生反思总结：

这节课——使我感触最深的是……我感到最困难的是……我学会了……我发现了生活中……等.

学生通过这些作业能更好地理解数学知识的实际应用价值，也能更好地在生活中去发掘与数学有关的内容.经常开展这些有意义的数学研究性学习，能真真切切地提高学生对数学的学习兴趣，提高对数学知识的应用能力.

研究性学习的开展需要有合适的载体，即使是学生提出的问题也要加以整理归类.作为研究性学习的载体应有利于调动学生学习数学的积极性，有利于学生创造潜能的发挥.实践证明，利用新课等形式开展研究性学习，能培养学生的研究能力.

这种“螺旋上升”的教学设计，在学生尝到了胜利果实的同时，更能体现出新课标下学生主动性的原则，也锻炼和培养了学生的三大能力(运算能力、空间想象能力、分析和解决实际问题的能力).素质化的数学课堂教学，就是要在学生头脑中建立起发展数学认知结构的过程，构造一种主动“再创造”的情境，使每名学生在自己的可“同化区域”内改变认知结构，实现知识重组，形成解决问题的能力素质，其指导思想是“重过程，重情境，重创造能力的发展”.

三、利用教材中的“探究与思考”培养学生的解题能力

新课标指出：“学生的数学学习活动不应该只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应该倡导自主探讨、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生学习过程成为‘再创造过程.”而“探究与思考”有良好的亲和力、启发性、前瞻性，激发兴趣，启发学生进行深层次的探究和“再创造”，能有效地培养学生的解题能力.

案例5新课标《数学》必修4第44页“思考”：你能求y=sinπ3-12x，x∈［-2π，2π］的单调递增区间吗？通过此思考题能使学生对复合函数单调区间的问题有一个完整的认识，实际上，无论x的系数是正是负，其求解思路是一致的.

解法一令z=π3-12x，由于z是x的减函数，即x增加时z减小，要使x增加时y也增加，则z减小时y要增加.于是函数y=sinz的减区间就是原函数的增区间.函数y=sinz的单调递减区间是π2+2kπ，3π2+2kπ，由π2+2kπ≤π3-12x≤3π2+2kπ，得-7π3-4kπ≤x≤-π3-4kπ，k∈Z.因此，函数y=sinπ3-12x，x∈［-2π，2π］的单调递增区间是-2π，-π3和5π3，2π.

解法二先把函数y=sinπ3-12x化为y=-sin12x-π3，然后求函数y=sin12x-π3的单调递减区间即可.

充分利用“探究与思考”的潜在作用，发掘学生学习的主动性，使学生学习过程成为“再创造”过程，培养学生的解题能力.

四、利用教材中的“探究与思考”在课堂教学中起铺垫衔接的作用

对于初中教材删除的，而高中又必需的知识应在需要的地方及时补充，否则造成知识的断路“空投”，知识生成会太突然，让学生难于接受.利用“探究与思考”做好铺垫，使知识衔接过渡自然和谐.另外，“探究与思考”可条分缕析地将前后知识巧妙地糅合链接起来，达到温故知新的效果.

案例6新课标《数学》必修1第96页探究题：如图3，观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图像，我们发现函数f(x)=x2-2x-3在区间［-2，1］上有零点，计算f(-2)与f(1)的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间［2，4］上是否有这个特点呢？

让学生观察对应的二次函数在区间端点上的函数值之积的特点，引导学生发现连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.从而引出新的教学内容.

案例7新课标《数学》必修4第7页“探究”：如图4，半径为R的圆，圆心与原点重合，角α的始边与x轴的正半轴重合，交圆于点A，终边与圆交于点B，请在下面的表格中填空，并思考：如果一个半径为R的圆的圆心角α所对的弧长是l，则α的弧度数是多少？既然角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间如何换算？

【摘要】在“有用的数学”“身边的数学”的思想指导下，改进了过于强调知识结构的严谨性、深刻性的不足，更强调知识的发生发展过程，关注知识的内在规律；突出数学知识与时代发展的联系；尊重学生个体对数学知识不同层次的需求与选择.如何充分挖掘教材中的“探究与思考”的作用？通过本人近几年的教学实践，教材中的“探究与思考”起着创设问题情境作用，能利用“探究与思考”开展研究性学习，能利用“探究与思考”培养学生的解题能力，利用“探究与思考”在课堂教学中具有铺垫衔接的作用.

【关键词】教材；探究与思考；作用

新课程实施以来，高中数学新教材与老教材相比增设了许多“探究与思考”的内容，发现新教材能关注学生数学发展的不同需求，内容设计上注意弹性，在保证基础的前提下为不同的学生提供不同的发展空间，为此，教材开发“观察与猜想”“阅读与思考”“探究与思考”等栏目的内容，为学生提供了一些具有探索性、拓展性的内容，通过“观察”“思考”“探究”、边空设问、留白填空等方式，引导学生的探索活动，为他们提供自主学习的空间.通过本人近几年的教学实践，就如何发掘新教材中的“探究与思考”的作用及其教学价值，谈谈自己的看法.

一、利用教材中的“探究与思考”创设问题情境

从数学学习的认知本质来看，数学学习离不开情境，从数学课程及数学学习的特点看，情境化设计愈来愈显示出重要性和必要性，然而，我们不能为情境而情境，更不能虚拟“游离于教学之外”的情境，因此，我们要充分挖掘教材中的“探究与思考”的作用，利用“探究与思考”创设问题情境.

案例1人教版《数学》必修1中的“3.1.2用二分法求方程的近似解”一课中的“思考”：一元二次方程可以用公式求根，但没有公式可用来求方程lnx+2x-6=0的根，联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求它的根呢？

从而设置：

问题1方程lnx+2x-6=0有解吗？

问题2能求出它的近似解吗？（教师给予学生思考的时间，特别注意课堂的变化.预设两种情况：第一，让学生谈谈思考的方向；第二，如果学生思路仍然受阻，进一步启发，出示问题3.）

问题3能否以上堂课为出发点找到一个求解的方案？学生：可以转化为求y=lnx+2x-6的零点问题，用“试值法”可以发现f(2)<0，f(3)>0，因此在区间（2，3）有零点.从而引出新课.

案例2人教版《数学》必修4“221向量加法运算及其几何意义”中可以利用书本中的探究问题，出示位移的合成、力的合成背景.

放投影片，出示位移的合成、力的合成背景.

（1）如图1，某对象从A点经B点到C点，两次位移AB，BC的结果，与A点直接到C点的位移AC结果相同.

（2）如图2，表示橡皮条在两个力F1，F2的作用下，沿GE的方向伸长了EO，与力F的作用结果相同.

位移AB与BC合成为AC，力F1与F2的合成为F，那么它们的合成方法一致吗？合成的含义是什么？

通过位移合成的三角形法则，力的合成的平行四边形法则，理解矢量合成的含义，归纳抽象出向量加法的意义.

数能进行运算，因为有了运算而数的威力无穷，与数的运算类比，向量是否也能进行运算呢？人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算，观察投影片中位移合成、力的合成问题，启发学生思考向量如何合成，从而引出新课.

创设情境从已有的知识背景出发，以激发学生的好奇心和学习兴趣，引起学生的求知欲望为目标，这样才不会使学生对数学感到枯燥、乏味、缺少趣味，才能使学生学习数学的兴趣和自信心大增，才能使学生的数学思维能力和分析问题、解决问题的能力得到提高，才能使学生对数学产生良好的情感与态度.

二、利用教材中的“探究与思考”开展研究性学习

有位数学家说过:“数学知识不是教出来的，而是研究出来的.”新课标下每节课的引言前都有探索问题，

案例3新课标《数学》必修1第80页探究题：在指数函数y=2x中，x是自变量，y为因变量.如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由.随着y=2x和x=log2y的研究，可以发现x是y的函数，同时也发现了两者图像间的关系(关于y=x对称)，进而得到了指数函数与对数函数是一组互为反函数:互为反函数的两图像是关于y=x对称.

再探索，比如说知道了y=x3-1，作关于y=x的对称图像，那么它的解析式是什么?进而去研究：关于y轴对称呢?x轴对称呢?原点呢?然后学生一一作答.这样既搞清了反函数的概念，又弄清了图像间的一些关系.

案例4在高一新课标《数学》必修1第71页中，探究与发现内容“购房中的数学”，这是数列的应用内容，教师可以好好应用这一内容开展研究性学习.要上好这一内容，老师可以在课前布置一些作业，让学生去查阅资料，搞清几个概念，如“什么是教育储蓄？”“什么是助学贷款？”“等额本金与等额本息两种贷款方式的区别？”等.学生的准备工作做充分了，那么老师在课堂上就容易展开讨论，让学生们能同时享受到自己和别人的调查结果.当老师在课堂内用例子让学生用两种不同的贷款方式计算后，学生就能更好地了解和掌握等额本金和等额本息的贷款方式，当然最重要的是让学生体会到了等差数列和等比数列的实际应用.

课后，老师可以布置类似的练习题用来巩固知识，同时可以布置一些特殊的作业，如让学生反思总结：

这节课——使我感触最深的是……我感到最困难的是……我学会了……我发现了生活中……等.

学生通过这些作业能更好地理解数学知识的实际应用价值，也能更好地在生活中去发掘与数学有关的内容.经常开展这些有意义的数学研究性学习，能真真切切地提高学生对数学的学习兴趣，提高对数学知识的应用能力.

研究性学习的开展需要有合适的载体，即使是学生提出的问题也要加以整理归类.作为研究性学习的载体应有利于调动学生学习数学的积极性，有利于学生创造潜能的发挥.实践证明，利用新课等形式开展研究性学习，能培养学生的研究能力.

这种“螺旋上升”的教学设计，在学生尝到了胜利果实的同时，更能体现出新课标下学生主动性的原则，也锻炼和培养了学生的三大能力(运算能力、空间想象能力、分析和解决实际问题的能力).素质化的数学课堂教学，就是要在学生头脑中建立起发展数学认知结构的过程，构造一种主动“再创造”的情境，使每名学生在自己的可“同化区域”内改变认知结构，实现知识重组，形成解决问题的能力素质，其指导思想是“重过程，重情境，重创造能力的发展”.

三、利用教材中的“探究与思考”培养学生的解题能力

新课标指出：“学生的数学学习活动不应该只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应该倡导自主探讨、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生学习过程成为‘再创造过程.”而“探究与思考”有良好的亲和力、启发性、前瞻性，激发兴趣，启发学生进行深层次的探究和“再创造”，能有效地培养学生的解题能力.

案例5新课标《数学》必修4第44页“思考”：你能求y=sinπ3-12x，x∈［-2π，2π］的单调递增区间吗？通过此思考题能使学生对复合函数单调区间的问题有一个完整的认识，实际上，无论x的系数是正是负，其求解思路是一致的.

解法一令z=π3-12x，由于z是x的减函数，即x增加时z减小，要使x增加时y也增加，则z减小时y要增加.于是函数y=sinz的减区间就是原函数的增区间.函数y=sinz的单调递减区间是π2+2kπ，3π2+2kπ，由π2+2kπ≤π3-12x≤3π2+2kπ，得-7π3-4kπ≤x≤-π3-4kπ，k∈Z.因此，函数y=sinπ3-12x，x∈［-2π，2π］的单调递增区间是-2π，-π3和5π3，2π.

解法二先把函数y=sinπ3-12x化为y=-sin12x-π3，然后求函数y=sin12x-π3的单调递减区间即可.

充分利用“探究与思考”的潜在作用，发掘学生学习的主动性，使学生学习过程成为“再创造”过程，培养学生的解题能力.

四、利用教材中的“探究与思考”在课堂教学中起铺垫衔接的作用

对于初中教材删除的，而高中又必需的知识应在需要的地方及时补充，否则造成知识的断路“空投”，知识生成会太突然，让学生难于接受.利用“探究与思考”做好铺垫，使知识衔接过渡自然和谐.另外，“探究与思考”可条分缕析地将前后知识巧妙地糅合链接起来，达到温故知新的效果.

案例6新课标《数学》必修1第96页探究题：如图3，观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图像，我们发现函数f(x)=x2-2x-3在区间［-2，1］上有零点，计算f(-2)与f(1)的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间［2，4］上是否有这个特点呢？

让学生观察对应的二次函数在区间端点上的函数值之积的特点，引导学生发现连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.从而引出新的教学内容.

案例7新课标《数学》必修4第7页“探究”：如图4，半径为R的圆，圆心与原点重合，角α的始边与x轴的正半轴重合，交圆于点A，终边与圆交于点B，请在下面的表格中填空，并思考：如果一个半径为R的圆的圆心角α所对的弧长是l，则α的弧度数是多少？既然角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间如何换算？

AB的长OB旋转的方向∠AOB的弧度数∠AOB的度数

π·r逆时针方向

2π·r逆时针方向

r〖3〗1

2r〖3〗-2

〖3〗-π

〖3〗0

〖4〗180°

〖4〗360°

教科书设置“探究”的意图是先根据所给图像对一些特殊角填表，然后概括一般情况.通过教师引导学生填空，思考问题，交流，讨论，得出角度制与弧度制的换算关系.

五、需注意的几个地方

（1）发掘教材中的“探究与思考”的作用，应该根据教学内容而适当安排，不能盲目的不合实际展开，因此，要细研教材，精确定位，深刻领会教材对教学的作用.

（2）倡导自主学习，培养学生的自学能力，新教材强调“以人为本”的教育理念，倡导“自主、合作、探究”的学习方式.教师理应做学生学习的引导者、组织者、促进者，使学生以探索者、研究者的身份，动脑思、动眼看、动笔写、动耳听，全身心地参与到学习中去，从而培养学生的自学能力，使学生成为一个发现者、研究者、探索者.让课堂焕发出生命的活力，为学生的终身学习打下良好的基础.

总之，“探究与思考”不仅承载体验知识发现与创造的历程，而且又能让正文内容更加鲜活、生动，主体更加突出、彰显.创设有利于引导学生主动学习的课程实施环境，提高学生自主学习、合作交流以及分析和解决问题的能力，教材是课程目标和教育内容的具体体现.正确使用教材，充分发掘教材在培养学生能力方面的功能是高中数学教师值得研究的课题.教材为提高学生能力提供了丰富的素材，不可多得，不能须臾离开.教材通过设置“观察与猜想”“阅读与思考”“探究与发现”等栏目，一方面为学生提供一些具有探索性、拓展性、思想性、时代性和应用性的选学材料，拓展学生的数学活动空间和扩大学生的数学知识面，另一方面也体现了数学的科学价值，反映了数学在推动其他科学和整个文化进步中的巨大作用.

【参考文献】

［1］谢增生.对新课标下高中教材的几点思考［J］.中学数学教研，2007(11).

［2］董入兴.对高中数学教材中的“旁白”的几点认识［J］.中学数学教学参考，2008(4)

［3］曹毓.使用A版教材教学的体会［J］.试教通讯员，2006(4).