关于全概率公式和Bayes公式的应用和推广

李文学 袁宜斌

摘要： 本文主要对全概率公式给出了一种新的理解，并推广了全概率公式和Bayes公式，讨论了全概率公式和Bayes公式的应用.

关键词： 完备事件组全概率公式Bayes公式

一、全概率公式

全概率公式是概率论中的一个重要公式，是计算复杂概率的一个有效途径.全概率公式是教学上与认识上的一个难点.本文主要讨论全概率公式及其应用.这里先给出完备事件组的定义.

定义1：设样本空间Ω中的事件组A■，A■，…，A■满足

（1）A■，A■，…，A■=Ω；

（2）A■，A■，…，A■互不相容，即A■≠A■（？坌i≠j）；

（3）P（A■）>0，i=1，2，…，n，

则称事件组A■，A■，…，A■是样本空间Ω的一个完备事件组，也称事件组A■，A■，…，A■构成样本空间Ω的一个划分.

引理1（全概率公式）：设A■，A■，…，A■是样本空间Ω的一个划分，则对任一事件B，有

P（B）=■P（A■）P（B|A■）.

对于初学者来说，全概率公式并不好理解，也容易产生误解.许多初学者常常认为事件B是样本空间Ω的一个子集，这是一个误解，容易导致解题时用不上全概率公式.这个误解主要是对该定理证明过程的错误理解造成的.在全概率公式的推广定理中，我们利用了随机向量的分布律的性质证明定理1.这个证明方法稍作修改即可证明全概率公式（引理1），这里我们省略.越过这个误区，全概率公式应用起来就顺畅多了.

包括数学专业在内的大部分教材对全概率公式的证明基本上如下：

P（B）=P（BΩ）=P（B（■）A■）=P（■（A■B））=■P（A■B）=■P（A■）P（B|A■）.

这种证明方法是错误的.其主要错误是把事件B所在的样本空间也认为是Ω.这种理解导致例1无法用全概率公式.从例1中可以看出事件B所在的样本空间不是Ω.

在许多实际问题中，由于事件B的复杂性，P（B）较难直接求得.若A■，A■，…，A■是事件B发生的n个原因，除此之外没有其他原因，而每一个原因A■（i=1，2，…，n）对事件B的发生都有一定的贡献，其贡献为P（A■B）=P（A■）P（B|A■）.所以所有原因A■，A■，…，A■对事件B的发生的贡献的和为

P（B）=■P（A■）P（B|A■）.

下面给出一个例题，从解答过程中不难发现所述问题的存在.

例1：有3个外形相同的箱子分别装有一定数量的白球和黑球，甲箱中有3个白球和2个黑球，乙箱有2个白球和5个黑球，丙箱有3个白球和3个黑球.现任选一个箱子并从这个箱子中任意取一球，求此球是白球的概率.

解：设任取的这个球来自甲箱为事件A■、来自乙箱为事件A■、来自丙箱为事件A■，则A■∪A■∪A■=Ω，且P（A■）=P（A■）=P（A■）=1/3.

设任取的这个球是白球为事件B.由已知得：P（B|A■）=3/5，P（B|A■）=2/7，P（B|A■）=1/2.由全概率公式得：

P（B）=■P（A■）P（B|A■）=■.

二、推广的全概率公式和Bayes公式

全概率公式的一个局限在于事件组A■，A■，…，A■只包含有限个事件.这里我们将其推广到可列个事件的全概率公式.

定理1：设A■，A■，…，A■，…两两互不相容且■A■=Ω，P（A■）>0，i=1，2，…，则对任一事件B，有

P（B）=■P（A■）P（B|A■）；

若P（A■）>0，则

P（A■|B）=■.

证明：作随机变量X（ω）=i，ω∈A■，i=1，2，…，另作随机变量Y（ω）=0，ω？埸B1，ω∈B，则P（B）=P（Y=1）=■P（Y=1，X=i）=■P（X=i）P（Y=1|X=i）=■P（A■）P（B|A■）；

若P（A■）>0，由条件概率的定义得

P（A■|B）=■=■.

例2：设一昆虫产i个卵的概率为λ■e■/i！（i=0，1，2，…），而每个卵能孵化为成年虫的概率为p（0

解：设事件A■表示这个昆虫产卵i个，i=0，1，2，…，则P（A■）=λ■e■/i！.

设事件B表示这昆虫的下一代恰有k只，则B|A■～B（i，p），i≥k.由定理1得

P（B）=■P（A■）P（B|A■）=0+■P（A■）P（B|A■）=■λ■e■/i！·C■■p■（1-p）■=■e■.

参考文献：

[1]盛骤.概率论与数理统计[M].高等教育出版社，2007：22-26.

[2]李全忠，刘长文，王希超.全概率公式的不足与改进[J].大学数学，2011，27（2）：173-176.

[3]陈光曙，王新利.全概率公式的推广及应用[J].高等数学研究，2010，13（4）：53-55.

[4]李华灿，邹翠.复合算子G·T的Poincaré型加权积分不等式[J].江西理工大学学报，2012，33（5）：97-100.