传递矩阵法求解变厚度旋转圆盘

陈伟 管婕妤

1.引 言

旋转圆盘是化工机械中的重要零件之一，由于这些机械以每分钟几千转至几万转做高速旋转，因此这些圆盘的强度问题备受人们关注.旋转圆盘中的应力与位移分析对圆盘的强度设计及结构优化有重要的实际意义.

关于旋转圆盘的应力分析与位移计算问题，国内外众多学者进行了研究［1-4］.在文献［5］中曾以一节的篇幅来讨论等厚度圆盘旋转与变厚度圆盘旋转的解析解，但对于厚度的变化不符合某一数学规律的圆盘，便无法得到其解析解.本文利用已有的简单盘的应力计算系数和边界条件，建立待定常数的传递矩阵，求得应力与位移，适用于任意轮廓的变厚度圆盘，方法简便实用.

2.求解算法

将旋转圆盘离散成若干个等厚度圆盘，如图1所示，这些圆盘的厚度均不相等.对于每个等厚度圆盘，其应力分量与位移由下式给出：

图1 圆盘的离散化

σ﹔i=-3+μ[]8ρω2r2+A璱[]2+B璱[]r2.(1)

σ│萯=-1+3μ[]8ρω2r2+A璱[]2-B璱[]r2.(2)

u璱=-1-μ2[]8Eρω2r3+A璱r[]2E(1-μ)+B璱[]Er(1+μ).(3)

将最外面的等厚度圆盘视为第一个，应力、位移分量表示为σ﹔1，σ│1,u1以此类推，采用由外面的圆盘向中心逐个计算的方法.对于第i+1个圆盘，其内径是第i个圆盘的外径，根据同一界面处总径向应力和位移相等可得

h﹊+1σ﹔﹊+1=h璱σ﹔璱,u﹊+1=u璱,i=1,2…N-1.（4）

整理可得

1-μ[]2A﹊+1-(1+μ)N[]Na-ia2B﹊+1=1-μ[]2A璱-(1+μ)N[]Na-ia2B璱，

h﹊+1猍]2A﹊+1+h﹊+1狽[]Na-ia2B﹊+1=h璱[]2A璱+h璱N[]Na-ia2B璱+3+μ[]8ρω2N[]Na-ia2（h﹊+1-h璱).

每个圆盘的厚度取一个平均厚度，即h璱=t璱+t﹊+1猍]2,i=1,2…N-1，靠近中心处的圆盘的厚度取为h璑=t璑.其中，

t璱=C(N+1-i)a[]N琻,i=1,2，…，N.

联立以上方程组求解后写成传递矩阵形式，即

A﹊+1B﹊+1

=1-μ[]2+h璱(1+μ)[]2h﹊+1 N[]Na-ia2(h璱-h﹊+1）(1+μ)[]h﹊+1

N[]Na-ia2(1-μ)(h璱-h﹊+1)[]4h﹊+1 h璱(1-μ)[]2h﹊+1+1+μ[]2

.

A璱B璱

+ρω2Na-ia[]N2(3+μ)(1+μ)(h﹊+1-h璱)[]8h﹊+1

ρω2Na-ia[]N4(3+μ)(1-μ)(h﹊+1-h璱)[]16h﹊+1

边界条件为在外边界（r=a）时径向应力为零，可得

│要﹔1獆﹔=a=-3+μ[]8ρω2a2+A璱[]2+B璱[]a2=0在中心处的应力分量为有限值，故B璑=0.

3.数值算例

一实心旋转变厚度圆盘，其厚度h=cr-1，μ=0.3，划分单元数N=20，为方便起见，将位移和应力写成如下形式:

﹗=αρω2a3[]E,σ璻=βρω2a2,σθ=β1ρω2a2,

就可以计算出各点的u,σ璻,σθ，式中各系数α,β,β1的精确解与本文解，如表1所示，再将三组数据比较.从表1可以看出，本文的近似解完全能够获得实际上足够精确的结果.ケ1 α,β,β1本文解与精确解结果对比

r[]a[]α[]β[]β1

4.结 论

本文将变厚度匀速旋转的圆盘离散化为若干个等厚度圆盘，利用简单圆盘的应力计算系数和变厚度盘的边界条件，建立待定常数之间的传递矩阵，进而求得旋转变厚度盘的应力与位移解.从实例精确解与本文解的对比可以看出，该方法计算简洁方便、计算精度较高、计算量小，为计算具有任意轮廓的变厚度旋转圆盘的应力与位移提供了较为精确的解法.