有限元分析处理水槽化学污染问题

周旭 江山 罗阳 居加颖

【摘要】研究一维固定长度的水槽中化学污染物的稳态分布情况，利用有限元法作数值模拟，将其有限元解与真解进行比较，发现随着网格剖分数的不断增大，绝对误差的数量级可达10-6，L2范数的数量级可达10-5，且有高于1阶收敛结果.

【关键词】有限元解；误差分析；水槽化学污染

【基金项目】江苏省高等学校大学生实践创新训练计划项目

有限元方法［1-3］是求解各种复杂数学物理问题的重要方法，可以利用变分原理将实际工程计算中的微分方程问题转化成与之等价的变分问题.因此，有些工程问题可以转化为控制方程，由基本方程和平衡方程给出.从变分原理出发，给出相应问题的有限元模型，采用有限元法给出相应的微分方程边值问题的近似解，进而考虑满足高精度要求的数值结果.

一、一维定长水槽问题

1.位势流

在地下水问题中，设流体为定长不可压流动，由连续方程或质量守恒方程描述此问题.设面积为常数，则一元势函数可为φ(x)=-K(x)h(x)与u(x)=玠φ[]玠玿，其中u为速度，h为压力头，L为渗透率.基本方程由獶arcy定律［4］猽(x)=-K·玠玥(x)[]玠玿给出.定长不可压缩流动满足玠玼[]玠玿=0关系，联立上述三个方程有玠2φ[]玠玿2=0，其解为线性函数，因而一维流动问题的速度为常数.

2.质量输运方程

一维水槽中介质流动是定常的，其控制方程将发生扩散现象，质量方程的平衡以稀释混合项的形式给出.将位势流理论与质量扩散理论相结合，得到问题的一个较全面的描述.设截面积为常数，则稀释混合项的质量平衡描述为

u(x)玠獵(x)[]玠玿+玠玧(x)[]玠玿+K璻C(x)=m.(1)

这里u(x)表示流动速度，C(x),j(x)分别表示浓缩系数和流通量，K璻表示稀释项与周围物质的反应速度，m表示质量源函数，其基本方程称为獸ick定律［5-6］，表示为j(x)=-D(x)·玠獵(x)[]玠玿，这里D(x)是扩散系数，联立可得控制方程：

u(x)玠獵(x)[]玠玿-玠玔]玠玿D(x)玠獵(x)[]玠玿+K璻C(x)=m.(2)

设已知速度u(x)，C(x)边界条件为本质边界条件，﹋(x)边界条件为自然边界条件.对方程(2)用拟变分法［2］，其拟变分函数可写为

J(C)=А要璙1[]2D玠獵[]玠玿2+Cu玠獵[]玠玿+K璻C2-2mC玠玍.(3)

将体积积分改为关于定常截面积A和长度L的重积分，并将(3)改写为基于形函数的矩阵形式，可得

J(C)=A[]2А要琇0{C}琓玠玁[]玠玿

琓［D］玠玁[]玠玿

{C}玠玿+A[]2А要琇0{C}琓·［Ｎ］Ｔ［u］玠玁[]玠玿{C}玠玿+A[]2

А要琇0{C}琓［N］琓［K璻］［N］{C}玠玿-И〢∫琇0{C}{N}琓m玠玿.

二、数值应用及分析

设一维水槽长L=1 玬，各处的横截面相同，内有流体流动，在x=0处，高度0.33 玬，在x=1处，高度0.11 玬，在x=0处测得某化学污染物的浓度为0，而在x=1处的浓度为10 玬g/m3.在流动过程中，污染物与周围物质以K璻=6.6×10-4的常数比发生反应，化学物质以扩散系数D=1.0×10-4扩散，物质的水力传导率K=1.0×10-4，我们分析水槽中化学污染物的稳态分布情况.

构造有限元解，将刚度矩阵代入非零本质边界条件后，可得整体刚度矩阵：

1.0[]

[]22.0[]-11.0

[]-11.0[]22.0[]-11.0

[3]鱗]鱗]鳘

[4]鱗]鱗]鳘

[5]-11.0[]22.0[]-11.0

[6]-11.0[]22.0

[8]1.0

h1

h2h3う螵う螵h10h11h12

=0.33

3.630.0う螵う螵0.01.210.11

用列主元獹auss消去法求解得h1=0.33,h2=0.31,﹉3=0.29,h4=0.27,h5=0.25,h6=0.23,h7=0.21,h8=0.19,h9=0.17,h10=0.15,h11=0.13,h12=0.11,有﹗=-K(h2-h1)[]L[]n，

（10-4）11.09 -10.79

-11.01 11.31

C1C2

(4)

由式(4)边界条件C﹛=0=0和C﹛=1=10，组成如下整体矩阵:

（10-4)·104

[]22.4[]-10.79

[]-11.01[]22.4[]-10.79

[3]鱗]鱗]鳘

[4]-11.01[]22.4[]-10.79

[5]-11.01[]22.4

[7]104

C1

C2C3う螵C10C11C12

=0.0

0.00.0う螵0.010.79·10-310.0

.

边界条件为C﹛=0=0和C﹛=L=C璍，长度为L的区域上解析解为C=C璍e│(x-L)·玸in玥(βx)[]玸in玥(βL)，其中α=u[]2D和│=α2+K璻[]D1[]2.下表是由有限元解C環和解析解C制成的：

通过编程计算，给出n=100,200,400,800时的有限元解与真解的绝对误差及L2范数А篇琻﹊=1(C-C環)2

1[]2.通过数值实验可知，用有限元法作数值模拟时，当网格剖分数越来越大由100到800，绝对误差的数量级可达10-6，L2范数的数量级可达10-5，其收敛阶高于1阶玶ate=log2E璑[]E2N.

通过研究一维固定长度的水槽化学污染物的稳态分布情况，利用有限元水槽化学污染的模型作数值模拟，我们得到了各节点上高精度的污染物分布情况.

【参考文献】オ

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