浅谈求函数f(x)解析式的方法

刘爱国

函数是高中数学的主线，贯穿整个高中数学的始终，而求函数解析式是常见的类型，本文列举些事例进行剖析，供解题时参考.

一、配凑法

把所给函数的解析式，通过配方、凑项等方法使之变形为关于“自变量”的表达式，然后以x替“自变量”即得所求函数的解析式,一般地利用完全平方公式.

例1 已知f1+1[]x=1[]x2-1，求f(x)的解析式.

解 把解析式按“自变量”——“1+1[]x”变形，得

f1+1[]x=1+1[]x2-21+1[]x，

在上式中以x代1+1[]x，得

f(x)=x2-2x(x≠1).

二、换元法

已知f［g(x)］，求f(x)的解析式.一般的可用换元法，具体为：令t=g(x),求出f(t)可得f(x)的解析式.换元后要确定新元t的取值范围.

例2 已知f(3x+1)=4x+3，求f(x)的解析式.

解 令t=3x+1，则x=t-1[]3輋(t)=4×t-1[]3+3輋(t)=4t-5[]3.∴f(x)=4x-5[]3.

三、待定系数法

所求函数的解析表达式是多项式的情形，首先确定多项式的次数，写出它的一般表达式，然后由已经条件，根据多项式相等的条件确定待定系数.

例3 已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1及f(x+1)-f(x)=2x,求f(x).

解 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，由f(0)=1,知c=1，

f(x+1)-f(x)=［a（x+1）2+b(x+1)+c］-(ax2+bx+c)=2ax+a+b.

由f(x+1)-f(x)=2x,得2ax+a+b=2x.

∴2a=2,a+b=0.

∴a=1,b=-1.∴f(x)=x2-x+1.

四、解方程组法

求抽象函数的解析式，往往通过变换变量构造一个方程，组成方程组，利用消元法，求f(x)的解析式.

例4 设函数f(x)是定义在(-∞,0)∪（0，+∞）上的函数，且满足关系式3f(x)+2f1[]x=4x,求f(x)的解析式.

解 令x=1[]x,3f1[]x+2f(x)=4·1[]x，联立方程，得

3f(x)+2f1[]x=4x,

3f1[]x+2f(x)=4·1[]x.∴f(x)=12[]5x-8[]5x.

五、赋值法

一般地，已知一个关于x,y的抽象函数，利用特殊值去掉一个未知数y，得出关于x的解析式.

例5 函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x

成立且f(1)=0,求f(x)的解析式.

解 令x=1,y=0,代入得f(1+0)-f(0)=(1+2×1)×1,

∴f(0)=-2.

又令y=0得f(x+0)-f(0)=(x+0+1)x，∴f(x)=x2+x-2.

六、归纳递推法

若函数的定义域为N*，且函数关系式是由递推关系给出的，可用递推法求出f(x).

例6 已知函数f(x)定义域为N*，且对任意的n∈N*，都满足

f(n+1)=f(n)+2n+1，f(1)=1，求f(x).

解 由f(n+1)=f(n)+2n+1，

依次令n=1，2，…，n-1，有

f(2)=f(1)+3，

f(3)=f(2)+5，

……

f(n)=f(n-1)+2n-1,

以上n-1个式子相加，得

f(n)=f(1)+3+5+…+(2n-1)

=1+3+5+…+(2n-1)=n2，ス蔲(x)=x2(x∈N*).

七、数列法

求定义在正整数集N*上的函数f(n)，实际上就是数列{f(n)}(n=1，2，…)的通项.数列法就是利用等比、等差数列的有关知识(通项公式、求和公式等)求定义在N*上的函数f(n).

例7 已知f(1)=1，且对任意正整数n，都有f(n+1)=3f(n)+2，求f(n).

解 由f(n+1)=3f(n)+2，有

f(n+1)+1=3［f(n)+1)］.

∴f(n+1)+1[]f(n)+1=3.

{f(n)+1}为公比是3的等比数列，其首项为f(1)+1=1+1=2.

∴f(n)+1=2·3﹏-1，即ゝ(n)=2·3﹏-1-1.

八、参数法

一般地，通过设参数、消参数得出函数的对应关系，从而求出f(x)的表达式.

例8 已知f(2-玞os玿)=5-玸in2x，求f(x).

解 设所求函数y=f(x)的参数表达式为x=2-玞os玹,

y=5-玸in2t;玞os玹=2-x， ①

玸in2t=5-y.②

①2+②，消去参数t，得y=x2-4x+8,ゼ磃(x)=x2-4x+8,x∈［1,3］.

总结 求函数的解析式的方法较多，除上面八种方法外，还有利用给定特性求解析式法和相关点法等，应根据题意灵活选择，但不论是哪种方法都应注意自变量的取值范围的变化，对于实际问题，更需注意这一点，应保证各种有关量均有意义.求出的函数解析式最后要写上函数的定义域，这是容易遗漏和疏忽的地方.