例谈构造函数关系例谈构造函数关系

夏宏明

函数是高中数学的主线，它用联系和运动、变化的观点研究、描述客观世界中相互关联的量之间的依存关系，形成变量数学的一大重要基础和分支.函数思想以函数知识做基石，用运动变化的观点分析和研究数学对象间的数量关系，使函数知识的应用得到极大的扩展，丰富并优化了数学解题活动，给数学解题带来一股很强的创新能力，因此越来越成为数学高考长考不衰的热点.

函数思想与方程思想的联系十分密切.解方程f(x)＝0就是求函数y＝f(x)当函数值为零时自变量x的值.求综合方程f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数y＝f(x)与﹜=猤(x)的图像的交点或交点个数.合参数的方程f(x,y,t)=0和参数方程更是具有函数因素，属于能随参数的变化而变化的动态方程，它所研究的数学对象已经不是一些孤立的点，而是具有某种共性的几何曲线.正是这些联系，促成了函数与方程思想在数学解题中的互化互换，丰富了数学解题的思想宝库.

在数学各分支形形色色的数学问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论，通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造某些函数关系，利用函数思想和方法使原问题获解，是函数思想解题的更高层次的体现，构造时，要深入审题，充分发掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移.以下是笔者对构造函数关系的举例.

例1 a为何值时，不等式a2＋2a－玸in2x－2a玞os玿＞2对任意实数x都成立.

分析 易想到分离变量a和x，转化为a的二次函数的最值解决，但实际解题中却无法直接从原不等式中分离出参数a，深入审题知思维屏障产生于玸in2x与玞os玿的不和谐性.以此为突破口，利用整体思想、换元，将原不等式先转换为玞os玿的二次不等式，再利用新构造的函数关系求解.

略解 令t=玞os玿，则玸in2x＝1－t2，t∈［－1,1］,

不等式化为t2－2at＋a2＋2a－3＞0在t∈［－1,1］上恒成立.

设f(t)=t2－2at＋a2＋2a－3=(t－a）2＋2a－3.

当゛≤－1时，f(t)┆玬in＝f(－1)=a2＋4a－2；

当－1＜a＜1时，ゝ(t)┆玬in＝f(a)＝2a－3；

当a≥1时，f(t)┆玬in=f(1)=a2－2.

原问题等价于当t∈［－1，1］时f(t)┆玬in＞0.即所求的a值为下列不等式组的解.

(1)a≤-1,

a2+4a-2>0或(2)-1

2a-3>0

或(3)a>1,

a2-2>0.

依次解得a＜－2－6或a≠0或a＞2，故所求a的取值范围是a＜－2－6或a>2.

点拨解疑 ①不等式恒成立问题的基本解法是转化为函数最值问题，利用函数性质解决，但本题无法分离参数，不能转化为例2中的较简单情形，只好对含参数a的二次函数最值依对称轴位置分情况讨论，利用函数性质：f(t)＞0，对t∈［－1,1］恒成立等价于f(t)┆玬in＞0，t∈［－1，1］,使问题解决.

②在解题中综合使用了函数思想、数形结合思想.分类讨论思想和化归思想及换元法，对思维品质要求较高.

例2 如图，已知ABCD是边长为4的正方形，E,F分别是AB,AD的中点，GC垂直于ABCD所在平面，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.

分析 距离的概念常由最小值定义，故可设法将点B到平面的距离通过构造函数关系，建立一个二次函数关系式，转化为二次函数的最值解决.

解 连接AC,BD,EF,FG，分别交AC于H,O.因ABCD为正方形，故BD⊥AC，由已知易得BD与平面GEF内的直线GH是异面直线，由此可将点B到平面GEF的距离转化为两异面直线BD,GH的距离，建立两异面直线上任意两点距离的一个二次函数关系式.

在GH上任取一点K，作KL⊥AC，垂足为L，连接KO，设KL＝x.

利用玆t△KLH∽玆t△GCH，可得LO2=32[]2x-22.

∴KO2=獂2+32[]2x-22=11[]2x-6[]112+4[]11,(其中0≤x≤2).

所以KO的最小值为211[]11，即点B到平面EFC的距离.

点拨解疑 函数最值法求距离是函数思想应用的较高层次，解题的关键是在于选取变元构造恰当的二次函数，应注意积累有关技巧.

总之，函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想即将所研究的问题借助建立函数关系式抑或构造中间函数，结合初等函数的图像与性质，加以分析、转化，解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决.