解析几何中“判别式”的处理

朱远军

解析几何是高中数学教学的重要内容，每年全国各地的高考题中，除了填空题或选择题有解析几何的内容外，几乎都有一道解析几何的大题，而且大多在最后两题中.在考题中直线与圆锥曲线的位置关系的考查最为常见.这就涉及判别式的问题.怎样处理其中的判别式才能使运算简便呢？是否一定要解不等式Δ>0呢？是否一定要求判别式呢？这些都是值得注意的问题，本人在教学过程中，总结得出了以下三种类型，现分别用例题加以说明.

一、验而不解

例1 给定双曲线x2-y2[]2=1，过点B(1，1)能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2，且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.

解 根据题意可设直线m的方程为y=k(x-1)+1,

代入双曲线方程2x2-y2=2，

整理，得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0,

其判别式Δ=(2k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+2k-3).

设Q1(x1,y1)，Q2(x2,y2)，由中点公式和韦达定理有1=獂1+x2[]2=k2-k[]k2-2，解得k=2.以k=2代入Δ，得Δ=-8<0，故上述关于x的一元二次方程无实根，所以符合题设条件的直线m不存在.

注 本题中如果解不等式Δ>0，就比较复杂了，其实，只要把k=2值代入看是否有Δ≥0就可以了，本题还可采用如下更简便的方法：

由点Q1(x1,y1),Q2(x2,y2)在双曲线x2-y2[]2=1上，得x21-y21[]2=1,①

x22-y22[]2=1,②

①-②，得(x1+x2)(x1-x2)=1[]2(y1+y2)(y1-y2).

∵Q(1,1)是Q1Q2的中点.∴x1+x2=2，y1+y2=2.

∴直线Q1Q2的斜率k=y1-y2[]x1-x2=2，

又 直线Q1Q2经过点B，∴直线Q1Q2的方程为y=2x-1.

将其代入双曲线方程得-2x2+4x-3=0，显然Δ<0，故满足题设条件的直线m不存在.

注 本解法中很多同学得到直线y=2x-1就结束了，忘记了将直线代入双曲线方程会验证Δ的值，从而得出“存在”的错误结论，这一定要引起重视.

二、解而不验

例2 已知l1,l2是过点P(-2,0)的两条互相垂直的直线，且l1,l2与双曲线y2-x2=1各有两个交点，分别为A1,B1和A2,B2，求l1的斜率k的取值范围.

解 根据题意可设l1,l2的方程分别为

y=k(x+2)(k≠0),①

y=-1[]k(x+2).②

以①,②两式代入双曲线方程y2-x2=1，分别可得

(k2-1)x2+22k2x+2k2-1=0,③

1[]k2-1x2+22[]k2x+2[]k2-1=0，④

则③的判别式Δ1=4(3k2-1)>0，

④的判别式Δ2=43[]k2-1>0.

解上面的两个不等式，注意到k≠±1（否则l1与双曲线只有一个交点），易得k∈(-3,-1)∪-1,-3[]3∪3[]3,1∪(1,3).

注 本题思路很明显，只要③中Δ1>0时，l1与双曲线有两个交点，且只要④中Δ2>0时，l2与双曲线有两个交点，最后求其交集.

三、不解也不验

例3 （2006福建卷）已知椭圆x2[]2+y2=1的左焦点为F，O为坐标原点.（1）求过点O,F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；（2）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.

解 （1）略.

（2）设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0).

由x2[]2+y2=1,

y=k(x+1)，

得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.

∵直线AB过椭圆的左焦点F，

∴方程有两个不等实根，记A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB中点N(x0,y0)，

则x1+x2=-4k2[]2k2+1，x0=1[]2(x1+x2)=-2k2[]2k2+1,﹜0=猭(x0+1)=k·-2k2[]2k2+1+1=k[]2k2+1.

∴AB的垂直平分线NG的方程为y-y0=-1[]k(x-x0).

令y=0得

x璆=x0+ky0=-2k2[]2k2+1+k2[]2k2+1=-k2[]2k2+1=-1[]2+1[]4k2+2.

∵k≠0，∴-1[]2

ァ嗟鉍横坐标的取值范围为-1[]2,0.

注 本题中由于直线AB过F，而F在椭圆内，故无论k取何值，直线AB都与椭圆相交，故不需解也不需验证判别式Δ>0，解题过程很简洁.

从上面的三种类型可知，直线与圆锥曲线联立方程消去未知数之后总能得到二次方程，其中判别式是高考考查的重点内容之一.解题过程中一定要想到判别式，处理判别式时一定要根据题目的特点注意选择适当的方法，要克服一味求Δ>0的盲目性，优化解题过程.