一类四边形问题的解题策略

顾栋明

美国数学邀请赛（AIME)试题新颖别致、内容广泛、灵活性强，是公认的既适应大众学生，又不失为较好区分度考查学生能力的好题.正因为AIME的这种优越性，其中尤以平几题的这种命题风格，正在影响着我国的中考、高考选学内容平几题的命题，本文以AIME中有关特殊四边形形式出现的题目为例，试谈这类题的解题策略，以求对现实的教学有一定的借鉴意义.

一、要重视利用特殊四边形的性质，尤其是与题中已知与所求直接关联的元素所拥有的性质

例1 正方形AIME的边长为10，等腰三角形GEM的底是EM，若△GEM与正方形AIME的公共部分的面积为80，求△GEM的底边EM上的高.（2008年第26届獳IME）

图 1分析 如图1所示，设等腰△GEM底边上的高为h，GE和GM分别交AI于点B，C，有△GEM与正方形AIME的公共部分的面积为80，又注意到S┨菪蜝CME=S△GEM-S△GBC及AI∥EM，得到△GEM∽△GBC，故有h-10[]h=BC[]10，BC=10h-100[]h，则80=1[]2h-1[]210h-100[]h(h-10),化简，求得﹉=25.

图 2例2 如图3所示，六边形ABCDEF被分成5个菱形P,Q,R,S,T.菱形P,Q,R,S是全等的，面积都为2006,令K为菱形T的面积，已知K是正整数，试求K的所有可能值的个数.（2006年第24届獳IME）

分析 在本题中，首先想到的是要用已知四个全等的菱形面积数据去求另一菱形的面积，考虑到菱形面积的求法：一是一边与其边上的高乘积的一半，二是其对角线的乘积的一半，据此探索.

如图所示，作菱形T的对角线，设Z是其交点，X，Y是菱形P和菱形T的公共顶点，Y在AB上，设YZ=x,XY=z,则2006=FX·YZ=zx,故z=2006[]x.

则K=1[]2·(2YZ)·(2XZ)=1[]2·2x·(2z2-x2)=2x2006[]x2-x2=8024-4x4.

因为8024=89，所以有89个正的x使得8024-4x4是一个正整数的平方，因此K一共有89个可能的值.

在本题求解中，充分利用了菱形各边相等与菱形对角线互相垂直平分等性质，如菱形AFXY中，FX=XY；如菱形XYWG中，YG⊥XW，且XZ=ZW，YZ=ZG.

二、要善于运用特殊四边形的性质，构建起关系式，并且能注意到元素间的替代与转换，实现解题的顺畅进行

例3 如图3，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别在BC，CD上，且△AEF是等边三角形，另有一小正方形以B为顶点，各边分别与ABCE的各边平行，且有一顶点在线段AE上，若小正方形的边长为a-b[]c，其中a，b，c均为正整数，且b不能被任何素数的平方整除，试求a+b+c的值.（2006年第24届獳IME）

分析 此题是依赖于大正方形的边长求小正方形的边长，目标找出两者的联系.若设小正方形的边长为x，则利用已知构建起含有x的等式，尝试解之.

图 3如图所示，设小正方形为BQPO，点Q在线段AB上.设BQ=x，则QP=x，〢Q=獂玹an75°.因此1=AQ+QB=﹛（玹an75°+1）=（3+3）x，故x=1[]3+3=3-3[]6.所以a+b+c=12.

由于，我国现行教材关于玹an75°的值为非要求学生掌握的特殊角值，本题也可不用玹an75°的三角法求解，借助相似三角形的比例式与勾股定理关系式，建立方程求解.

或者，为避开玹an75°非特殊角值，可将等边三角形AEF改为顶角为30°的等腰三角形（或叙述为AE，AF是∠DAB的三等分线），这时，小正方形的边长a-b[]c形式变为a-b[]c,试求a+b+c的值.

当然，本题也可演变为以下形式：等边三角形ABC边长为2，等腰直角三角形DEF的顶点D在BC的中点上，边EF平行BC，另有一小正方形GHJK的一边与EF重合，另两顶点K，J分别在AB，AC边上，试求小正方形的边长.

例4 如图4，在长方形ABCD中，AB=12，BC=10.点E，F在长方形ABCD内，且满足BE=9,DF=8，BE∥DF，EF∥AB，直线BE与线段AD相交，线段EF的长度可表示为mn-p的形式，其中m,n,p都是正整数，且n不能被任何质数的平方整除.求m+n+p.（2011年第29届獳IME）

图 4分析 如图4所示，设BE与AD交于G，DF与BC交于H，EF分别交AD于M，交BC于N，过E作EK⊥AB于K，过F作FJ⊥CD于J.

因为BG∥DF，DM∥BN，有△DFM∽△GEM∽△BEN，于是，DF[]BE=DM[]BN，8[]9=DM[]BN，8+9[]9=DM+BN[]BN=CN+BN[]BN=BC[]DN，BN=9[]17BC=90[]17.在玆t△EBK中，

BK=BE2-EK2=BE2-BN2=92-90[]172=27[]1721.

同理可得，DJ=24[]1721.

所以，EF=NE+MF-MN=BK+DJ-AB=27[]1721+24[]1721-12=321-12，故有m+n+p=36.

三、要充分挖掘特殊四边形隐含的相关性质，其中不添置适当的辅助线，将其性质显性化后，搭建起已知与所求之间的桥梁，帮助解题

例5 如图5所示，将一张长方形纸ABCD中顶点为B的一角折起来，使得顶点B与AD边上的点B′重合，设折痕为EF，其中E点在AB边上，F点在CD边上，已知AB=8，〣E=17，CF=3，长方形ABCD的周长为n[]m，其中m,n为互素的正整数，试求m+n的值.（2004年第22届獳IME） 图 5

分析 注意到折叠产生了以EF为对称轴的轴对称图形，有〣′E=狟E=17.在玆t△EAB′中，由勾股定理求得AB=15；连接BB′，有〦F⊥狟B′，作FG∥CB交AB于G，显然有GE=17-3=14，△EGF∽△B′AB.故FG[]BA=GE[]AB′，解得〧G=70[]3.所以，长方形ABCD的周长为70[]3+25×2=290[]3，则m+n=293.

关于图形的折叠与旋转是近年中考题中命题概率高的一个趋向，它将静态的平面图形置于一定的运动变化中，在不同的对称中，蕴含了相等、全等、垂直、平行、相似等众多关系，考查学生的观察、分析能力.本题的关键是利用轴对称的关系，找到△EGF∽△B′AB.

本题的另一解法是：设长方形对边AD=BC=x,B′D2+DF2=B′F2=B′C′2+C′F2=BC2+CF2,即有(x-15)2+(25-3)2=x2+32,求得x=70[]3.