职高学生解直线方程

祝秀芳

直线方程是高中平面解析几何中的一个重要内容，也是学生学习的一个难点.因为这部分内容涉及点斜式、斜截式、两点式和截距式四个公式，对于本来基础较弱的职高生来说更难，学完后过段时间基本上记不住直线方程的形式.本人经过多年职高教学，总结出解直线方程的简易方法，就是以不变应万变，所有直线方程都用y=kx+b.

一、我们先了解直线方程的四种形式

(一)点斜式

已知直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，求直线l的方程.

设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得

k=y-y1[]x-x1.(1)

可化为

y-y1=k(x-x1).(2)

(二)斜截式

已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为k，求直线的方程.

这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：

y-b=k(x-0).

也就是y=kx+b,叫做直线的斜截式方程.

(三)两点式

已知直线l上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，(x1≠x2)，求直线l的方程.

∵x1≠x2,k=y2-y1[]x2-x1,

∴直线的方程为y-y1=y2-y1[]x2-x1(x-x1).

当y1≠y2时，为了便于记忆，我们把方程改写成

y-y1[]y2-y1=x-x1[]x2-x1.

(四)截距式

已知直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a≠0，b≠0)，求直线l的方程.

解 因为直线l过A(a，0)和B(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得

y-0[]b-0=x-a[]0-a.

就是

x[]a+y[]b=1.

二、怎样用y=kx+b解直线方程

例1 已知直线斜率5，且过P（1，2），求直线方程.

解法一 典型的点斜式：y-y1=k(x-x1).

代入已知条件得方程y-2=5(x-1).

解法二 斜截式：y=kx+b.

代入已知条件2=5×1+b，

解得 b=-3.

所以直线方程为y=5x-3.

例2 已知P（1，2），Q（2，4），求过PQ的直线方程.

解法一 典型的两点式（略）.

解法二 斜截式：y=kx+b.

代入已知条件得方程组2=k+b，(1)

4=2k+b.(2)

得k=2，b=0.

所以直线方程为y=2x.

例3 已知直线在x轴的截距是3，在y轴的截距是6，求直线方程.

解法一 截距式（略）.

解法二 斜截式：y=kx+b.

已知直线在x轴的截距是3，即直线过点（3，0）.

在y轴的截距是6,即直线过点（0，6）.

代入0=3k+b，得

6=0+b，

解得：b=6，k=-2.

所以直线方程为y=-2x+6.

三、注意事项

斜截式只有斜率存在时方可使用.

如图，当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用斜截式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1.