连续两次相差为同一常数的规律题求法

韦政雄

在解有关规律性的问题时，我们有时发现在一列数据中，两个相邻的数求差后，再对相邻新数求差，这时它们为同一常数.在这里称之为连续两次作差为同一常数.遇到此类问题，关键是求规律中的表达式，那怎么求呢？本文就该问题进行研究和探讨，希望能对同学们的学习有所帮助.

例1：观察下图，解答问题.

（1）上图画出了三到六边形的对角线，观察后将下表填写完整.

（2）若一个多边形的内角和为1440°，求这个多边形的对角线条数.

分析与解:

解法1：（1）易知，六边形的对角线条数为9.通过作图也易知七边形的对角线条数为14，那么n边形呢？

现将多边形边数与对角线条数提取进行分析：

边数 对角线条数分析及梯形面积公式法表达式

观察上表发现，将相邻对角线条数两数作差，再对作差后的相邻新数作差，它们的结果都为常数1.当设多边形的边数为n，对角线条数写成和的形式时，第一个数是2，最后一个数是1×n-2，共有（n-3）项，用梯形面积公式法求得n边形对角线条数为：

×（n-3）=（n-3）

（2）由n边形内角和公式可得：1440°=（n-2）×180°，解之得n=8.

∴这个多边形的对角线条数为：×（8-3）=20（条）.

解法2：（只对n边形的对角线条数进行探究）

现先对二次函数的性质进行研究.对于二次函数y=x+2x+2，有下表成立：

对y相邻的数求差得：10-5=5，17-10=7，26-17=9，37-26=11，…

对相邻新数再次求差得：7-5=2，9-7=2，11-9=2，…

发现的值连续两次作差为同一常数，再对其他的二次函数研究也有这样的结论，因此可以得出二次函数存在这样一个性质：二次函数的函数值连续两次作差为同一常数；反过来，如果一数列存在着：连续两次作差为同一常数，它的序数与所对应的数的表达式满足某个二次函数.利用这个性质，求本例n边形的对角线条数：

由解法1中的（1）可知，对角线条数相邻两数作差，再对作差后的新数作差，它们的结果都为同一常数，所以多边形边数及所对应的对角线条数满足某个二次函数.设这个二次函数为y=ax+bx+c，对多边形边数x及所对应的对角线条数y取出三对数：（3，0），（4，2），（5，5），于是有0=9a+3b+c2=16a+4b+c5=25a+5b+c，解之得：a=，b=-，c=0.

所以多边形边数x及所对应的对角线条数y满足二次函数:y=x-x，

当x=n时，有y=n-n=n（n-3），

∴七边形对角线条数为：×（7-3）=14（条）.

例2：瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，，，，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱的奥妙大门，请你按这个规律写出第七个数据是?摇 ?摇.

分析与解:

解法1：分子中第1个数:9=3；第2个数:16=4；第3个数:25=5；第4个数:36=6，

∴第n个数分子应该是（n+2）.

分母中：序数 分母对应数分析及梯形面积公式法表达式

分母中的数两次连续作差后为同一常数2，进一步分析可知，当设序数为n，分母对应的数写成和的形式时，第一个数是5，最后一个数是2×n+3，共有n项，用梯形面积公式法求得第n个数分母为：

×n=n（n+4）

∴第n个数为：

当n=7时，所对应的数是=.

解法2：（只对分母存在的规律进行探究）

由解法1知，分母中的数两次连续作差后为同一常数，所以分母中的序数及所对应的值满足某个二次函数.设此二次函数为y=ax+bx+c，对分母中的序数x及所对应的值y取出三对数：（1，5），（2，12），（3，21），于是有5=a+b+c12=4a+2b+c21=9a+3b+c，解之得：a=1，b=4，c=0.

所以分母中的序数x及所对应的值y满足二次函数:y=x+4x，

∴第七个数的分母为：y=x+4x=7+4×7=77.

由例1和例2的解法2可知，当一数列连续两次作差后为同一常数，数列序数与对应的数满足某个二次函数的表达式，利用待定系数法，解出来的二次函数常数项都为0，是不是所有满足这种情况的二次函数的常数项都为0呢？请看例3.

例3:（2009牡丹江市）有一列数：-，，-，，…那么第7个数是?摇?摇.

分析与解:

解法1：易知，数列符号，单序数为负，双序数为正，分子按序数排列，关键的就是找分母的表达式.现将分母序数及所对应的数提取进行分析：

序数分母对应数分析及梯形面积公式法表达式

分析发现，分母所对应的数两次连续作差后，为同常数2.可以预测，除符号和2外，第n个数，当写成和的形式时，第一个数是3，最后一个数是2×n-1，共有（n-1）项.

∴第n个数除符号外，分母为:2+×（n-1）=n+1

∴第n个数为:（-1）

∴第7个数为:（-1）=-.

解法2：（只对分母存在的规律进行研究）

由解法1知，分母所对应的数连续两次作差后，为一同常数2，所以分母中的序数及所对应的值满足某个二次函数.设这个二次函数为y=ax+bx+c，对分母中的序数x及所对应的值y取出三对数：（1，2），（2，5），（3，10），于是有2=a+b+c5=4a+2b+c10=9a+3b+c，解之得：a=1，b=0，c=1.

所以分母中的序数x及所对应的值y满足二次函数:y=x+1，

∴第七个数的分母为：y=x+1=7+1=50.

由上三例可知，如果一数列存在着：连续两次作差为同一常数，它的序数与所对应的数的表达式满足某个二次函数，利用待定系数法，解出来的二次函数常数项不一定为0.

例4:如图，△ABC中边BC上有n个点，每个点都与A连接，共有多少个三角形？

分析与解：用列举法进行探究.在BC上：有3个点（即B、D、C）时，有△ABD、△ABC、△ADC共3个三角形；

有4个点（即B、D、E、C）时，有△ABD、△ABE、△ABC、△ADE、△ADC、△AEC共6个三角形；

有5个点（即B、D、E、F、C）时，有△ABD、△ABE、△ABF、△ABC、△ADE、△ADF、△ADC、△AEF、△AEC、△AFC共10个三角形；

例4题图

按同样方法列举，可知，当BC上有6个点时，共有15个三角形.

进一步分析还发现，这些三角形个数两次连续作差后，为同常数1.

即，第一次求差得：6-3=3，10-6=4，15-10=5，21-15=6，…

再次求差得：4-3=1，5-4=1，6-5=1，…

利用本文的二次函数一性质进行求解，设这个二次函数为y=ax+bx+c，对BC上的点数x及所对应的三角形个数y取出三对数：（3，3），（4，6），（5，10），于是有3=9a+3b+c6=16a+4b+c10=25a+5b+c，解之得：a=，b=-，c=0.

所以分母中的序数x及所对应的值y满足二次函数:y=x-x.

当x=n时，有y=n-n=n（n-1），

即△ABC中边BC上有n个点，每个点都与A连接，共有（n-1）个三角形.

利用梯形面积公式法解决本例也很捷径，请读者自行完成.

综上所述，当一列数，只要两次连续作差后为同一常数，它的表达式除观察利用综合知识解决外，还有两种方法较为捷径：

1.它的某一项都可以写成有规律数的和的形式.当两次作差为同常数1时，和的最后一项是与1的倍数有关（如例1、例4）;当两次作差为同常数2时，和的最后一项是与2的倍数有关（如例2、例3）;……然后再求项数，代入梯形面积公式法：

M=（a+b）h

（其中，M表第b项的数，a表第1项，b表最后一项，h表从a到b共有项数）将有关数据代入，再进一步化简，就可得到其表达式.

2.它的表达式满足某个二次函数，设此二次函数的解析式为y=ax+bx+c，对序数x及所对应的值y取出三对数：（x，y），（x，y），（x，y），利用待定系数法求出a，b，c，又返回代入y=ax+bx+c，就可得到其表达式.