保费随机收取的二维风险模型的破产概率

黄玉娟,于文广

（1.山东交通学院理学院，济南250023;2.山东财经大学保险学院，济南250014）

0 引言

在经典的保险风险理论中，复合泊松风险模型U(t)=u+ct-S(t)是主要的研究对象，并且取得了许多经典的结果[1][2]。随后许多学者对该风险模型进行了各种各样的推广，其中之一就是将一维模型推广到多维风险模型。近年来随着保险数学的研究，多维风险模型也越来越受到关注，但是多维风险模型在数学处理上较为复杂，即便是二维风险模型在技术处理上也较为困难。文献[3]构造了一个二维风险模型，定义了三类破产概率，给出了关于破产概率的一个简单的界，得到了理赔额服从phase-type分布时的破产概率的确切表达式。文献[4]对多维风险模型破产概率进行了研究，并将同一索赔事件产生的几种索赔之间的相关关系考虑了进来，应用多维Phase-type分布得到了几种不同形式破产概率的边界。文献[5]、[6]研究了索赔相关的双Poisson二维风险模型的破产概率。文献[7]、[8]分别讨论了索赔为轻、重尾分布的二维风险模型的破产概率。文献[9]把索赔到达过程推广到Poisson过程且每份保单的理赔额也推广为随机变量,得到了相关风险模型的破产概率及其上界。基于上述文献，本文将稀疏过程引入到二维风险模型中，将收取新保单和由续保收到的保单区别开来，即索赔以Poisson流到达到的同时会产生一个强度为λρ(0＜ρ＜1)续保的Poisson过程，同时新保单也以Poisson流到达。

1 模型的定义与实际背景

定义1设u1≥0，u2≥0，c＞0，α＞0，在给定概率空间(Ω,F,P)上，定义二维风险模型为：

其中，ui≥0是第i个保险公司盈余过程{Ui(t);t≥0}的初始资本，i=1,2；c为单位时间内收到的保费；{Wi(t);t≥0}为一标准维纳过程，表示第i个保险公司的不确定的收益和支付，i=1,2；α为大于零的常数，表示扩散扰动强度。{Mi(t);t≥0}为直到t时收到的新保单数，服从参数为 βi的泊松过程，i=1,2；{N1(t);t≥0}表示[0,t]内的总理赔次数，其速率为 λ1的泊松过程；{Yik≥0;k=1,2,...}表示第i类险种第k次的理赔额，且独立同分布，E[Yik]=μiy，Var[Yik]=σ2iy，i=1,2；{Xik≥0;k=1,2,...}表示第i类险种第k次续保费，且独立同分布，E[Xik]=μix，Var[Xik]=σ2ix，i=1,2，并设μiy＞μix；{N2(t);t≥0}表示[0,t]内续保保单以速率λ1ρ (0＜ρ＜1)的泊松过程到达，即{N2(t);t≥0}是{N1(t);t≥0}的ρ-稀疏过程。ρ的实际意义为考虑这样一类险种，它由两个相关的风险类构成。每一类都有两种理赔方式，主理赔与次理赔，即某一类风险理赔的发生会以某概率ρ的可能性产生次理赔。例如，在一次交通事故中，车辆发生意外造成损坏，同时人身也可能受到伤害，那么可以把车险看作主理赔，人身保险看作次理赔。

令

则(1)式可以改写为

假设1{N1(t);t≥0}与{Yk≥0;k=1,2,...}、{Xk≥0; k=1,2,...}、{M(t);t≥0}和{W(t);t≥0}是相互独立的。{Y1k≥0;k=1,2,...}和 {Y2k≥0;k=1,2,...}相互独立；{X1k≥0;k=1,2,...}和{X2k≥0;k=1,2,...}相互独立。

以上我们定义了稀疏过程下的二维风险模型，但二维风险模型的破产定义与一维风险模型的情况是有区别的。首先，给出一维风险模型两个盈余过程{U1(t);t≥0}和{U2(t);t≥0}的破产时刻和破产概率的定义。定义Tj为第 j个盈余过程的破产时间 j=1,2，即Tj=inf{t|Uj(t)＜0}及第 j个盈余过程的破产概率ψj(uj)= Pr(Tj＜∞|Uj(0)=uj)。

下面给出二维风险模型的三类破产时刻的定义：

相应的破产概率分别定义为：

注以上定义的实际背景为，{Tmin＜∞}表示U1(t)和U2(t)中至少有一保险公司的盈余过程为负值，即在将来的某个有限时刻t，至少会有一个保险公司发生破产；{Tmax＜∞}表示在将来某个有限时刻t，其盈余U1(t)和U2(t)都会为负值，即两个保险公司在将来有限时刻t均会发生破产；{Tsum＜∞}表示U1(t)与U2(t)的和会为负值，即两个风险过程的和将来在有限时刻t会为负值，即破产发生。因此，与一维保险风险模型相比，其破产概率满足如下关系：

且根据定义有

下面对Tmin进行讨论。首先考虑其对应的生存概率：

引理1给定两个实数{x1,x2}，则如果它们都为严格正值当且仅当对所有严格正实数{a1,a2}，都有 a1x1+a2x2＞0。事实上，引理条件只需要a1＞0, a2＞0及a1+a2=1。

所以，由引理1和(12)式可知：下面定义一个参数为a={a1,a2}的一维风险模型：

令

定义盈余过程{Ua(t);t≥0}的破产时刻为Ta=inf {t≥0|Ua(t)＜0}，则其想应的破产概率定义为：

运用现代概率论相关知识，可得Tmin和Ta如下关系：

类似地，(7)式中定义的破产概率ψmax(u1,u2)满足：

特别的，当 a1=1/2,a2=1/2，可以得到 Pr(Tsum＜∞)=Pr(T{1/2,1/2}＜∞)。因此，破产概率Pr(Tsum＜∞)可以简化为一维风险模型的破产概率。

2 主要结果

定理1盈利过程{Sa(t),t≥0}具有下列性质：

(1)Sa(0)=0;(2){Sa(t),t≥0}平稳独立增量；(3)存在正数r＞0，使得E[exp(-rSa(t))]＜∞。

定理2对于盈利过程{Sa(t),t≥0}，存在函数g(r)使得E[exp(-rSa(t))]=exp(tg(r))。

证明：E[exp(-rSa(t))]

令

即可。

定理3方程g(r)=0在r＞0内有唯一正解Ra，Ra称为模型(14)的调节系数，而g(r)=0称为调节系数方程。

证明：只需证明g(r)具有以下4条性质即可。

显然g(0)=0，则①式成立。

由于

则g′(0)＜0，而

故g(r)在r的非负半轴上是下凸函数，所以g(r)=0至多有两个解，而r=0为平凡解，故r＞0内有唯一正解r=Ra。

定理4设Ra为调节系数，A为X和Y的上界，则调节系数Ra满足如下不等式

证明方法类似文献[10]。

对于盈利过程{Sa(t),t≥0}，定义=σ{Sa(v);v≤t}为{Sa(t),t≥0}的自然σ-域流。

定理5Ta是的停时。

定理6{Mˉa(t),t≥0}是鞅，其中：

定理7对于任意实数r，其最终破产概率满足：

证明：对任意固定常数t0，t0∧Ta为有界停时，从而由鞅的停时定理可得：

所以

对上式两边取期望并令t0→∞，则可得(18)式。

定理8盈余过程{Ua(t);t≥0}的最终破产概率满足：

证明对任意的固定常数t0，t0∧Ta为有界停时，从而由有界停时定理可得：

在上式中，取r=Ra得：

若令I(C)表示集合C的示性函数，则有：

由于0≤exp(-RaUa(t0))I(Ua(t0)≥0)≤1，根据大数定理可证明当t0→∞时，Ua(t0)→∞(几乎处处)，由控制收敛定理有(几乎处处)，从而当t0→∞时，式(20)即可化为(19)式。

推论1{Ua(t);t≥0}的最终破产概率所满足的Lundberg不等式为：

其中，Ra为调节系数。

[1]Grande J.Aspect of Risk Theory[M].New York:Spring-Verlag,1991.

[2]Gerber H U.数学风险论导引[M].成世学,严颖译.北京:世界图书出版发行公司,1997.

[3]Chan Wai-Sum,Yang Hailiang,Zhang Lianzeng.Some Results on Ruin Probabilities in A Two-dimensional Risk Model[J].Insurance: Mathematics and Economics,2003,(32).

[4]Cai J,Li H J.Multivariate Risk Model of Phase Type[J].Insurance: Mathematics and Economics,2005,(36).

[5]马学思,刘次华.双Poisson二维风险模型的破产概率[J].统计与决策,2006,(8).

[6]陶金瑞,张永珍,刘俊先.二维相依泊松风险模型的破产概率[J].南开大学学报(自然科学版),2009,42(4).

[7]李祥发,宋会杰,郭鹏江.扰动的二维风险模型的破产概率[J].西北大学学报(自然科学版),2009,38(6).

[8]颜荣芳，潘欢.重尾环境下二维风险模型在有限时间内的破产概率[J].兰州大学学报(自然科学版),2008,44(2).

[9]杨恒,黎锁平.改进后的二维相关风险模型[J].甘肃科学学报, 2010,22(1).

[10]于文广,黄玉娟.随机利率因素下的多险种破产模型[J].临沂师范学院学报,2006,28(6).