基于模态参数的模型缩减及结构动力学分析＊

（武汉理工大学能源与动力工程学院 武汉 430063）

随着弹性结构几何形状的复杂化，体积大型化，各种复杂的边界条件以及受力状态以及较高的求解精度的要求（如船舶柴油机结构），对结构进行有限元动力学分析时，往往需要精细的单元划分，使得弹性结构的自由度达到几十到几百万个．这样的现实作为一种推动因素，一方面促进了计算机容量的增加和计算机计算能力的加强，另一方面促进了各种模型缩减技术的发展［1－4］．

在众多的模型缩减技术中，本文主要研究在单点激励－单点响应（SISO）的情况下，由弹性结构的模态参数（固有频率和振型）所表达的模型缩减技术，及其在结构动力学分析中的应用．本文以一悬臂梁为例，演示了模态参数模型缩减技术的过程，然后，对于缩减后的模型分别在频域和时域对结构进行了动力学分析，计算结果与有限元分析的结果进行了对比，验证了模态参数模型缩减技术的正确性和有效性．

1 基本理论

对于具有n个自由度的结构，其基本的动力学方程为

式中：M，K，C分别为结构的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵，其中阻尼矩阵C为瑞利阻尼，满足：C＝αM＋βK；X为结构的自由度向量，X＝［X1，X2，…，Xn］T；F 为外力向量，F＝ ［F1，F2，…，Fn］T．

为了得到结构的模态参数，即固有频率和振型参数，令式（1）中的F＝0和C＝0，得到式（1）的齐次方程．则该齐次方程的解可以表示为：X＝φejωt，其2阶导数为：¨X＝－ω2ejωt．将 X 和¨X 代入式（1）的齐次方程中，有

通过求解方程（2），可以得到结构的n个固有频率和振型，其固有频率矩阵Ω和振型矩阵Φ表示如下：

式中：ωi为第i阶固有频率；φi为ωi所对应的第i阶振型．

当将方程（1）展开为n个独立的方程时，在自由度之间存在耦合，使得方程（1）求解困难，为此可以利用振型向量之间的正交性，对方程（1）中的刚度矩阵和质量矩阵进行解耦，使矩阵成为标准的对角矩阵形式．为了使用模态参数来表示解耦后的对角矩阵，需要对振型矩阵Φ进行归一化处理，这里采用的归一化处理方法为加权振型法［5］．令Φ为经过处理后的加权振型，则加权振型Φ使得方程（1）中的刚度矩阵和质量矩阵具有如下形式．

则此时，瑞利阻尼矩阵为

为了将方程（1）从物理坐标转换成模态坐标来表示，令X＝ΦY，并对方程中每一项前面乘以ΦT，则此时式（1）为

式（8）展开后的非耦合方程的一般形式为

对式（8）进行拉氏变换，并令初始条件为0．则有

因为只是研究单点激励－单点相应（SISO）的情况，故只研究单个输入的情况，则对任意施加的单个外力Fi：

将上式除以Fi，则可以得到由Ewins所提出的著名由模态参数缩减模型所表达的传递函数公式：

式（15）表明：对于具有n个自由度的复杂有限元模型，在单点激励－单点响应（SISO）的情况下，只要得到结构的n阶固有频率和模态振型矩阵中激励点和响应点所对应的自由度的行向量，就可以建立激励点和响应点之间的传递函数表达式，实现模型的缩减．

2 算 例

以一悬臂梁结构为例来表示方程（13）在结构自由度缩减以及动力学分析的过程．悬臂梁结构的几何尺寸以及有限元模型的节点排列如图1所示，梁单位的材料属性如表1所列．

图1 悬臂梁的几何尺寸和有限元模型节点排列

在图1中，·表示建立的梁单元有限元模型的节点，节点均匀分布，固定端的节点编号为1，自由端的节点编号为11，中间节点按照从左到右，从小到大依次排列．

表1 梁单元的材料属性

2.1 模态参数传递函数的计算

对图1所示的悬臂梁结构进行有限元模态计算，取前10阶模态．计算中将各节点的y方向的自由度设置成主自由度，结构的阻尼对结构的响应有很大的影响［6］，将各阶振型的阻尼比设置成相同值，令ξi＝0．01．为了应用式（15），只提取所关心节点的模态振型向量，分2种情况：（1）激励点和响应点为同一节点，如节点11；（2）激励点和响应点为不同的节点，如节点11和节点5．则模态计算后所得到的固有频率和振型使用向量表示为：

节点5和节点11的模态振型向量分别为：

1）激励－响应均在节点11时，将模态频率ω、阻尼比ξi＝0．01，以及振型向量X11代入式（15），得到节点11处的传递函数公式，以sys01表示（略）．

2）激励－响应在节点11和节点5时，将模态频率ω、阻尼比ξi＝0．01，以及振型向量X11和X5代入式（15），得到节点11和节点5之间的传递函数公式，以sys02表示（略）．

2.2 运用模态参数模型进行动力学分析

在得到由悬臂梁的模态参数表示的激励点与响应点之间的传递函数表达式后，就能够对悬臂梁结构进行动力学分析，分别在频域和时域进行分析．为了验证分析的结果，将传递函数分析的结果与有限元分析的结果进行对比．在动力学分析中，均是在节点11对结构在y方向上进行激励，得到节点11和节点5上的响应．

1）频域分析 在悬臂梁的节点11处施加激励，做谐响应分析，分别获取节点11和节点5处的幅频特性得到FRF．对于由模态参数表示的传递函数sys01和sys02，采用MATLAB的Bode函数［7］绘制传递函数的幅频特性得到FRF．两种方法得到的FRF见图2．

图2 有限元分析和由模态参数表示的FRF之间的比较

2）时域分析 在悬臂梁的节点11处施加y方向向下的半正弦的激励，该激励幅值为100N，作用时间为0．001s，分别获取节点11和节点5上的y方向的位移响应历程，位移响应结束时间为0．03s．同样的半正弦激励也施加于传递函数sys01和sys02．半正弦激励的时间历程如图3所示，两种方法得到的时间响应历程见图4．

图3 半正弦激励的时间历程

3 分析与结论

通过前一节对于基于模态参数传递函数模型以及有限元模型在时域和频域计算结果的分析，可以得到如下结论：在单点激励－单点响应（SISO）情况下：（1）两种方法在时域和频率中的计算结果具有非常好一致性，表明了模态参数传递函数模型的正确性；（2）模态参数传递函数模型能够给出结构激励与响应之间的具有紧凑形式的表达式，这是通过有限元分析计算无法达到的；（3）与有限元模型相比较，模态参数传递函数模型能够通过数值计算软件（如MATLAB）对结构进行后续各种动力学分析，而且计算结果具有很高的精度．

本文在SISO的前提下，研究基于模态参数的模型缩减技术缩减模型的自由度以及进行动力学分析的方法，是以简单的悬臂梁结构，且在单一方向上为例进行说明．而对于结构复杂，节点个数和自由度较多的弹性结构，因为每个节点在空间都具有6个自由度，在运用模态参数缩减技术时，对于每个节点各个方向上的自由度，只要根据式（1）中的自由度向量的X表达式，合理的对自由度进行组合形成列向量，后面的数据处理方法和本文所演示的方法完全一样．模态参数模型缩减技术的进一步研究包括如何缩减模型的模态阶数，以及多点激励－多点响应（MIMO）下的应用．

图4 有限元分析和由模态参数所得到的传递函数所计算蝗位移时间历程之间的比较

［1］王文亮，杜作润．结构振动与动态子结构方法［M］．上海：复旦大学出版社，1985：275－399．

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