借用转动惯量的概念解决质点曲线运动问题

韩艺隆

(公安海警学院基础部 浙江 宁波 315801)

在解决质点曲线运动学问题，尤其是解决质点圆周运动问题时，会用角动量L(L=r×mv)处理，这一物理量是通过动量p得出的.而对于处理刚体的转动问题用到的角动量、转动动能是由质点曲线运动的角动量、动能的形式推出的，并总结出了转动惯量I的表达形式;I的引入大大简化了刚体转动问题的处理.

用转动惯量I，角速度ω，角加速度α，力矩M来处理刚体转动问题，过程简单易懂，容易掌握.这时，回过头来，发现用位移Δr、速度v、加速度a来处理质点曲线运动问题就有些繁琐了，如果能将处理刚体转动问题的方法引入到质点曲线运动问题的研究中，应该会更好一些.

质点运动学中衡量物体惯性大小的物理量是质量m.在刚体运动学中衡量物体转动惯性大小的物理量是转动惯量I，它既包含质量因素的影响，又包含自身的几何形状等因素的影响.其他一些研究质点运动问题常用的物理量在刚体运动学中也都发生了相应的变化：位移Δr变为了角位移Δθ，速度v变为了角速度ω，加速度a变为了角加速度α等.下面就通过质点圆周运动和刚体定轴转动的两组公式来具体比较它们之间的一些定理在形式上的不同.

质点圆周运动：

角动量

L=r×mv

其量值为

L=rmv

动能

力矩

M=r×F

其量值为

M=rFt

其中Ft为质点所受到的切向分力.

运动定律(牛顿第二定律)为F=ma

刚体定轴转动：

先通过质点集的角动量表达形式得出

再得出刚体的转动惯量

对于质量连续分布的情形

可得角动量L=Iω

其量值为

L=Iω

动能

力矩

M=r×F

其量值为

M=rFt

动能定理

运动定律(转动定理)M=Iα

其量值为

M=Iα

通过以上两组公式的比较，可以发现，研究质点运动与研究刚体运动的定理虽具有对称的形式，但所用的物理量截然不同.那么在它们之间是否可以建立起联系，使之具有相同的表达形式呢？下面将质点圆周运动的数学表达式改变一下形式.

角动量

L=r×mv

其量值为

L=rmv=rmωr=mr2ω

动能

力矩

M=r×F

其量值为M=rFt=rmat=rmαr=mr2α

动能定理

而对于质点圆周运动的运动定律，将等式两边同时左叉乘r，可得

r×F=r×ma

其数值表达式为

M=rmαr=mr2α

通过这组改变后的表达式可以发现，质点做圆周运动时的角动量、动能、力矩值的大小以及运动定律都与mr2有关.笔者在这里做一个新的尝试，即认为mr2为质点做圆周运动时相对于圆心具有的转动惯量I，那么上一组表达式即变为

角动量L=r×mv

其量值为L=rmv=rmωr=mr2ω=Iω

动能

力矩

M=r×F

其量值为M=rFt=rmat=rmαr=mr2α=Iα

动能定理

运动定律

M=Iα

这便与刚体定轴转动时的数学表达式的形式相同了.

在刚体运动学中，当转轴不经过刚体质心时，可以通过平行轴定理来计算刚体的转动惯量

I=Ic+md2

Ic为刚体相对于通过自身质心且垂直于转动平面的转轴的转动惯量，m为刚体的质量，d为刚体质心至转轴的距离.在这里，将质点看成是特殊的刚体，只有质量，没有体积(即几何半径R=0)，那么质点作圆周运动时的所具有的转动惯量可表述为

其中d=r，r为圆周运动的半径.所以此时质点的转动惯量就为I=mr2.这与我们上述讨论的结果完全一致.

在此讨论过程中，为了便于理解，故选用质点做圆周运动为例.其实此结论同样可适用于质点的直线运动和其他形式的曲线运动，只不过r的意义应为所选的参考点到质点的速度矢量所在直线的垂直距离，这样便可把质点运动与刚体运动的知识统一起来；同时在学生头脑中初步建立起了物理知识具有对称性这一概念，为后面的学习建立基础.

参考文献

1 漆安慎，杜婵英.力学.北京.高等教育出版社，1998

2 程守株，江之水.普通物理学(第一册).北京.高等教育出版社，1998