非线性变折射率大气中的海市蜃楼

2012-01-23 07:34张九铸
物理通报 2012年12期
关键词:仰角折射率光线

张九铸

(金川集团公司龙门学校 甘肃 金昌 737100)

设大气折射率与相对海面的高度y成非线性关系[1]

(1)

式中各常数的典型值n0=1.000 233,nP=0.458 36,α=2.303/m.建立坐标系xPy如图1所示,设物点P(0,0)与海平面等高,由于大气折射率的连续变化,物点P向各方向发出的光线将连续向下弯曲,地面上与海平面等高处的观察者眼睛A将接收到很窄的折射光光锥(因为瞳孔很小),光锥顶点P′就是物点P的像,称为蜃景.由P点射出的光线的仰角φ不同,能看到像P′的人的位置A(x2,0)也将不同.基于式(1),笔者将利用变分法导出人能够看见蜃景的条件及P,A之间距离的计算式.

图1

1 光线方程

设由P点发出的一条光线经过某点(x1,y1),则由P到该点的光程为

(2)

相关偏导数为

将以上结果代入欧勒方程

得到

-αβ2e-αy(1+y′2)=2y″(1+β2e-αy)

(3)

由于

代入式(3)并且分离变量,有

积分得到

1+y′2=C1(1+β2e-αy)

(4)

固定边界条件为yx=0=0,y′x=0=tanφ,代入式(4)解得

(5)

设0≤x≤x1范围内y′≥0,式(4)可以变为

(6)

其中

a=C1-1b=C1β2

积分式(6)得到[2]

再将固定边界条件yx=0=0代入以上二式,分别解得

于是得到

(7)

(8)

式(7)、(8)是0≤x≤x1范围内的光线方程.

2 形成蜃景的条件和物点与观察者之间距离

第一种情形:a≥0即C1≥1或tanφ≥β.先将式(4)变为

y′2=(C1-1)+C1β2e-αy=a+be-αy

由此式可见,因为b=C1β2>0,所以a≥0时y′不可能为零.这说明在这种条件下光线不存在最高点,不发生全反射,光线不向下弯曲,人无法在地面上看见蜃景.又由式(5)可知此时有

代入数据得

φ≥24.62°

即仰角φ≥24.62°的光线不发生全反射.特别地,对于a=0的情形,此时式(4)变为

y′2=β2e-αy

(9)

可见,此时只有在y→∞处才有y′=0,其实人无法在地面上看见蜃景.

第二种情形:a<0即C1<1或tanφ<β.这种情况下,由式(4)可知光线有最高点,也就是说人在地面上可以看见蜃景.令x=x1时y=y1,y′=0,代入式(4)得

a+be-αy1=0

(10)

再令式(7)中的x=x1,y=y1,并将式(10)代入,得

根据对称性,并且考虑式(5)、(6),得到P,A之间水平距离为

(11)

总之,在大气折射率作如式(1)变化时,只有仰角φ<24.62°的光线才能发生全反射,亦即只有这一区域的光线才能形成海市蜃楼.

参考文献

1 钟锡华.现代光学基础.北京:北京大学出版社,2003.17~18

2 《实用积分表》编委会.实用积分表.合肥:中国科技大学出版社,2006.118

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