解析几何法在磁场边界类问题中的应用

楼柯峰

(绍兴县柯桥中学 浙江 绍兴 312030)

带电粒子在磁场中的运动常常以压卷题的形式出现在各地模拟卷和高考卷中.这类命题综合性强，难度较大，要求学生能灵活地把数学思想方法与物理模型相互渗透.而“应用数学处理物理问题的能力”正是《考试说明》提出的“五种能力”之一.分析近三年的磁场类命题，可以发现“求磁场分布区域”或“求粒子运动区域”出现的频率较高，它们的核心就是“求磁场中的曲线方程”，而求曲线方程正是解析几何的基本问题之一，因此我们完全可以用数学方法来探求.

1 直接法

图1

(1)从顶点A沿AB方向射入的电子在磁场中的运动时间t；

(2)磁场大小、方向保持不变，现改变匀强磁场分布区域，使磁场存在于y轴与虚线之间，示意图见图1(b)所示，仍使放射出的电子最后都垂直穿过y轴后向右运动，试确定匀强磁场左侧边界虚线的曲线方程.

解析：(1)由题以及等边三角形的性质知电子在磁场中运动的轨迹半径R=a，进而解得

(2)设电子从点P(x，y)进入磁场，O1(0，b)为轨迹圆圆心，如图2所示.因电子出磁场时速度垂直y轴，则∠PAC=∠PO1D等于电子在磁场内的偏转角，所以△PAC与△PO1D相似.可列等式

同时满足x2+(y-b)2=a2;消去(y-b)得磁场左边界方程为

图2

直接法就是“将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，然后列出等式化简即得动点轨迹方程”.物理中最常用的条件是直角三角形、相似三角形和圆方程.

2 参数法

【例2】如图3，在0≤x≤2a，-a≤y≤a内某一区域存在一匀强磁场，方向垂直纸面向里.在直线y=a的上方，直线x=0与x=2a之间的区域内，有一沿y轴负方向的匀强电场，场强为E.一质量为m，电荷量为+q的粒子以速度v从O点垂直磁场方向射入(粒子是从O处马上进入磁场);当速度方向沿x轴正方向时，粒子恰好从O1(x=a的位置)点正上方的A点沿y轴正方向射出磁场.不计粒子重力.

(1)求磁感应强度B的大小.

(2)若粒子以速度v从O点垂直磁场方向射入第一和第四象限，为使这些粒子射出磁场后在电场中运动的时间相同且最长，则应加怎样的磁场?写出所加磁场的边界方程.

图3

解析：(1)由题知该粒子在磁场中运动的轨迹半径r=a,可得

(2)要使这些粒子射出磁场后能在电场中运动的时间相同且最长，则要求进入电场时的速度与电场线平行.设与y轴正方向成θ角的粒子从磁场边界某点P(x,y)射出.由题知粒子运动轨迹对应的圆心角刚好为α=(90°-θ)，如图4.由几何关系得P点坐标为

图4

x=a(1-cosα)

y=asinα

利用sin2α+cos2α=1,消去α,得边界曲线的方程为

(x-a)2+y2=a2

即所加磁场在以(a，0)为圆心，半径为a的圆内，如图4中虚线所示.

参数法就是“动点的坐标(x，y)中的x，y分别随另一变量的变化而变化，以这个变量为参数，建立轨迹的曲线方程”,常用参数是角度.

3 定义法

图5 图6

(1)求离子打到荧光屏上的范围.

(2)粒子运动周期

所以该时刻这些离子所在位置构成的曲线方程为一条直线,即

图7

本题是借用解析几何中的定义法解曲线方程.定义法就是“当动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如圆、抛物线、双曲线、直线等)，就可用定义直接探求”.如本例中(2)是直线方程，(3)是圆方程.(3)问实际上是第二类动态圆(从同一点同时射入磁场的粒子速度方向不定，大小确定)的问题.经相同时间t，这些不同方向入射的粒子转过圆心角α相同，且各角对应的弦长L也相等.t时刻粒子所在位置构成一个以初始入射点为圆心，半径为L的圆Ⅰ.当α=180°时，对应各轨迹圆所能到的最远点，其包络面为圆Ⅱ.另外各轨迹圆圆心也构成一个圆Ⅲ,如图8所示.

图8

4 特殊模型法

图9

解析：此题有两种解法.

图10

又因为(x，y)点也属于圆轨道，所以有

x2+(y-b)2=r2

两式联立消去(y-b)，便得

(r2-x2)y2=(a-x)2x2

这是一条过(0，0)点的四次曲线，只取它在第Ⅰ象限的部分代表磁场区域的右边界，左边界为右边界相对y轴的对称曲线，应是

(r2-x2)y2=(a+x)2x2

因此，磁场边界可表述为

又有r

图11

(2)利用特殊模型，当“磁场圆”半径和“粒子轨迹圆”的半径相等时，两圆的交点和两圆的圆心共四个点刚好构成一个“菱形”，能实现磁扩散和磁会聚，如图12.

图12

将上述情况合并,就是本题的另一种解法.即在第Ⅰ,Ⅱ象限各有一个圆柱形的磁场区，圆柱的轴线和磁场都垂直于xOy平面，圆心分别在(a，r)点和(-a，r)点，半径都是r，那么从P点发出的离子经过第Ⅱ象限磁场的偏转后，沿着平行于x轴的方向向右飞出磁场区，离子进入第Ⅰ象限后，经过与第Ⅱ象限相反的路线会聚到R点.这种磁场可使从P点发出的所有在xOy平面内的离子都到达R点，如图13所示.

图13

本题解法(1)是借用“直接法”,解法(2)是利用“特殊的物理模型”——“磁场圆”与“轨迹圆”半径相等时的磁会聚、磁扩散.