激光扫描系统中f－θ透镜的光学设计＊

张双翼，徐熙平

（长春理工大学 光电工程学院，吉林 长春 130022）

引 言

激光扫描系统是将时间信息转变为空间信息的一种系统。其整个过程是：首先使某种信息通过光调制器对激光进行调制，调制后的激光通过光束扫描器在空间改变方向，再经f－θ透镜在接收屏上成一维或两维图像。

在国内外市场上，f－θ透镜有着很广泛的应用，如印刷机、激光传真机、导弹跟踪瞄准、生物芯片扫描仪、大型水晶工艺品的内部雕刻、表面装饰、激光防伪、光学精细、刻印加工、激光打标以及用于制作半导体集成电路的激光图形发生器以及激光扫描精密计量设备等等。

国内生产平像场f－θ透镜的公司有：上海主波光电科技有限公司，北京力量激光元件有限责任公司，北京大恒光电技术研究所，中国科学院光电技术研究所，武汉焦点光学技术有限公司，光研科学（台湾）有限公司。

目前，国外生产平像场f－θ透镜的公司有：Sintec Optronics，Anvik Corporation，Cascade Laser Corporation，Roden Stock Corporation。

平像场f－θ透镜的工作波段主要在532nm，1 064nm及10.6μm，对于前两个波长的f－θ透镜的则采用三片透镜或者四片透镜的结构，而对于二氧化碳激光的f－θ透镜一般采用的是一片透镜或者两片透镜结构［1］。

文中的目的是设计一种非接触在线检测工件尺寸的f-θ透镜，用于实验室对光学零件的检测。

1 设计思路

f－θ透镜作为激光扫描系统中不可或缺的成分，它的位置分为光束扫描器之前和之后两种扫描方式，如图1所示。当f－θ透镜位于扫描器之前时，见图1（a），激光光束经f－θ透镜汇聚后，经扫描器反射成像，因为焦距是一定的，所以所成像的像面为曲面，与要求中像面为平面不符合，故此方案甚不理想。当f－θ透镜置于扫描器之后时，见图1（b），经过不同角度射入f－θ透镜的光束，在其像方焦平面上生成像面是平的且为一维空间的扫描像，但该f－θ透镜设计较困难，要求当扫描器以固定的转速转动时，经过f－θ透镜的光线必须以恒定的速度移动，即扫描器的转动与像面上像点的移动保持一种线性的关系，所以也称该透镜为线性成像透镜。

图1 透镜与扫描器的位置关系Fig.1 The ubiety between lens and scanner

f－θ透镜的特点如下：

（1）激光被固定转速的扫描器反射后，经f－θ透镜聚焦在像面上一一呈现相对应的像点，理想像高y′与扫描角θ保持一种线性的关系：

但是，对于大部分光学系统，其理想的像高为：

很显然，其理想像高y′与扫描角θ之间不是线性的关系，即经扫描器以固定转速反射的光束的角度与经透镜聚焦在像面上的像点的速度之比不是常数。为了使像面上得像点能匀速移动，应使f－θ透镜产生一定的桶形畸变（负畸变），即f－θ透镜的实际像高应小于用几何光学方法确定的理想像高，两者所产生的畸变量为：

相对畸变，即偏离程度须满足：

具有以上性质的透镜系统，对经扫描器以固定转速反射的光束在像方实现线性扫描，其像高为y′＝f·θ，也把此种线性成像透镜称为f－θ透镜。

（2）工作波长为单色光，像质要求波像差要小于λ／4，而且要求整个像面成平面且像质一致，无渐晕存在。如果想要得到平像面且像质一致的话，就需要校正系统的场曲，这样才可能使轴外和轴上达到像质一致，还能提高照明均匀性。校正场曲的条件如下：

式（5）中，nk表示第k块透镜材料的折射率，Φk表示第k块透镜的光焦度。由式可知，场曲的校正需要正负透镜彼此分离［2－3］。

2 设计方法

设计具体要求如下：光源波长为650nm，扫描光束口径为2mm，测量尺寸范围为0～50mm，测量精度为1μm，像质要求波像差要小于λ／4，而且要求整个像面成平面且像质一致，无渐晕存在。

先对要求条件进行系统的分析。由于光源为单色光，因此不用校正色差，也就是说不需要采用胶合的结构进行设计，用单透镜即可。扫描光束口径为2mm，即入射光瞳为2mm，属于小口径，所以系统的彗差不会很大，在设计时不用刻意对彗差进行校正；为了使扫描过程实现线性扫描，需要把入瞳的位置放在物方焦点处，形成像方远心光路，这对提高扫描的精度也是有帮助的。要求测量尺寸为0～50mm，其等同于像面半视场的像高为25mm，就是要求最后一片透镜的半高度为25mm，才能保证测量的尺寸要求；由y′＝f·θ可知，扫描范围一定的情况下，焦距与扫描角度是成正比的，如果焦距大会对扫描精度有很大的影响，尤其是在实际的成品中，由于透镜表面的不平整和划痕或者是内部有气泡等等，很容易使光线经过很长的距离到达像面后造成精度不够，因此焦距最好控制在100mm以内；另一方面，焦距过小会导致扫描角度过大，视场变大会影响轴外点的成像质量，即大视场系统像差校正会有一定的困难，所以要综合考虑焦距与扫描角度的关系。要求测量精度为1μm，说明系统的相对畸变量要降低到0.1%以下。要求波像差小于λ／4，就是要求光学系统整个视场的点列图全完落在艾利斑内，点扩散函数的中心亮度大于0.8，或者调制传递函数（modulation transfer function，MTF）曲线达到衍射极限。

3 设计结果与讨论

设计焦距为75mm的f－θ透镜。

根据y′＝f·θ可知，焦距为75mm时，扫描角度为36°，即半视场为18°。选用两片透镜是达不到要求的，因为从理论上讲一个薄透镜系统是可以校正两个单色像差的，那么两个单透镜组合在理论上就可以校正4个单色像差，又由于单色像差一共有5个，两片透镜是不可能达到要求的，所以至少需要三片透镜数。用平场条件来对场曲进行校正，即正负透镜分离；用特殊透镜结构来校正系统的像散。玻璃的选取不需要使用特殊玻璃，用普通的冕牌玻璃就可以，即K9，因为火石玻璃硬度低，表面容易划出伤痕，并且不稳定，这都对扫描精度造成影响，同时火石玻璃的价格比冕牌要贵得多。再根据初级像差理论，用PW法先求出初始数据（也可以用高斯光学理论求出近似值，还可以找镜头手册或相关专利的结构数据进行缩放），再用光学设计软件Zemax进行优化［4］，得到的优化结果如表1所示。

图2为焦距75mm的f－θ透镜相应的光路图（半视场）。

表1 焦距75mmf－θ透镜结构参数Tab.1 Parameters of 75mm focus f－θlens

图2 焦距75mmf－θ透镜的光路图Fig.2 2Dlayout of 75mm focus f－θlens

该光路图是用虚拟的光线来表示光的真实走向，描绘了光学系统的成像过程。从图2中可以看出透镜拥有校正像散的特殊结构，即第四个曲面与第五个曲面背向而置的结构。

图3为焦距75mmf－θ透镜的点列图和点扩散函数。

图3 焦距75mmf－θ透镜的点列图和点扩散函数Fig.3 Spot diagram and point spread function of 75mm focus f－θlens

点列图反映了经光学系统后在像面成像的像点的分布情况，从图3上可以看出，物方所有的点经过光线追迹后完全落在了艾利斑以内，即达到了整个视场的像质一致，根据斯托列尔准则，点扩散函数的中心点亮度大于0.8，认为系统成像是完善的。从图3上可以看出所设计的焦距75mm的f－θ透镜中心点亮度接近1，大于0.8，满足斯托列尔准则的标准。

图4为焦距75mmf－θ透镜的场曲／像散（a）、相对畸变图（b）和调制传递函数图（c）。

图4 焦距75mmf－θ透镜的场曲，相对畸变和调制传递函数Fig.4 Field curvature，distortion and MTF of 75mm focus f-θlens

由于子午像面与弧矢像面不重合，因此会产生场曲和像散。从图4中可以看出子午场曲／像散与弧矢场曲／像散的最大值为2mm，根据焦深公式l＝λ／n′sin2u′计算得所设计的焦距75mmf－θ透镜的焦深为6.8mm，最大像散值小于焦深，是在允许的范围之内。从图4中还能看出系统的相对畸变值在0.012%左右，这就意味着扫描精度达到了1μm，达到了设计要求的规定。

调制传递函数不仅能全面、定量地反映光学系统的像差性质和衍射所引起的综合效应，而且它较其它评价函数相比具有降低成本和减少人力、物力的浪费、缩短研制设计周期、提高成像质量等有点。故从图4中可以看出，所设计的光学系统达到了衍射极限，从另一个角度证实了设计系统像面的像质达到一致。

图5为焦距75mmf－θ透镜的相对照度和能量集中度。

图5 焦距75mmf－θ透镜的相对照度和能量集中度Fig.5 Relative illumination and fraction of enclosed energy of 75mm focus f－θlens

由于衍射和像差的存在，会使原本照度均匀的物面经过光学系统后在像面上的变得不均匀，从而影响了像质。从图5可以看出，系统的相对照度在90%以上，可保证工件表面上刻线深度和粗细的均匀性，是符合实际使用要求的。

由于衍射现象的存在，即使是理想光学系统也无法使能量集中度达到100%。从图5中可以看出，整个视场的能量集中度是很高的［5－6］。

综上所述，所设计的焦距为75mmf－θ透镜是符合设计要求的，其特点是焦距比较短，结构简单紧凑，成本较低，聚焦性能达到衍射极限，系统相对照度分布均匀，有很高能量集中度。

4 结 论

设计一种用于非接触在线检测工件尺寸的f-θ透镜，关键在于要结合像差理论的知识对设计的f－θ透镜的设计要求进行分析，选择好主要的参量，比如焦距、视场等，再用PW法（或用镜头设计手册，或者相关专利）算出初试结构，最后用光学设计软件优化，得到最后结果。

文中设计的用于非接触在线检测工件尺寸的焦距为75mm的f－θ透镜，其优点是简单紧凑、焦距较小、扫描精度高、聚焦性能达到衍射极限，能量集中度和像面辐照度都接近100%。另外，该透镜成本较低，加工和装配的难度相对较小，适合于批量生产等特点。

［1］ 季轶群，刘红军，沈为民.镜头的光学设计［J］.光子学报，2007，36（1）：73－75

［2］ 张以谟.应用光学［M］.北京：机械工业出版社，1982.

［3］ 李 林.现代光学设计方法［M］.北京：北京理工大学出版社，2009.

［4］ 王之江，庄松林，顾培森，等.现代光学应用技术手册［M］.北京：机械工业出版社，2010.

［5］ 杜玉军，辛维娟，高 明.宽光谱大相对孔径CCD星敏感器光学系统设计［J］.光学仪器，2011，33（2）：29－32.

［6］ 蓝 宁.光学补偿式长波红外变焦系统设计［J］.光学仪器，2011，33（3）：53－56.