关于文科线性代数课程教学的几点思考

李小朝，刘爱超

（黄淮学院 数学科学系，河南 驻马店 463000）

关于文科线性代数课程教学的几点思考

李小朝，刘爱超

（黄淮学院 数学科学系，河南 驻马店 463000）

在文科线性代数课程的教学中，合理地运用线性方程组知识，可以变抽象为直观，变复杂为简单。文科线性代数课程的分层教学既要充分考虑学生的数学基础和数学认知能力，又要充分考虑学生对知识的不同需求和学习兴趣，真正做到因材施教、因需施教。为了调动学生学习的积极性和主动性，应强化随堂闭卷练习。

线性代数；线性方程组；矩阵；文科生

线性代数是大学公共课之一，由于概念抽象，计算复杂，令很多学生望而生畏，文科生更是如此。文科学生数学基础普遍不好，容易对线性代数课程产生畏难情绪。如何才能让文科学生学好线性代数，是任课教师不得不思考并必须面对的问题。以下笔者结合教学实践，就文科线性代数课程的教学谈几点看法。

1 线性方程组知识的合理运用

线性方程组是线性代数教学的中心环节，矩阵、行列式、向量组的线性相关性、秩的求法、线性空间的基变换、坐标变换等，都与线性方程组有着直接或间接的联系，同时学生中学阶段学习过简单的线性方程组知识，所以，由线性方程组引入问题，或利用线性方程组知识分析讨论问题，学生容易接受。

1.1 从线性方程组出发引入课程教学

由线性方程组出发引入线性代数课程的教学内容，是很多大学教师讲授线性代数课程的共同选择。由于学生在中学阶段学习过简单的线性方程组知识，所以在讲解行列式和矩阵的概念之前，可以通过一些简单线性方程组的求解来引入这些概念。例如：可以通过消元法给出二元一次线性方程组的解，然后把这些解写成二阶行列式的比值的形式，再进一步给出抽象的n阶行列式的概念；可以通过介绍n个变量m个方程的线性方程组，把它的系数和变量都写成整体的形式，即给出矩阵的概念。至于相对抽象的矩阵的初等变换，其实就是对应线性方程组消元的过程，因此可以一边对方程组消元，一边对矩阵进行初等变换，这样学生十分容易接受。尽管线性方程组通常被视为一个抽象的数学对象，但是与线性代数的内容相比它是具体的，学生容易接受和掌握。由线性方程组出发引入线性代数课程的教学内容，举例给出线性方程组的一些具体应用，可以帮助学生领会线性代数的内涵，能使学生全面、深入地认识线性代数的研究对象，有利于激发学生的学习兴趣。

1.2 利用线性方程组知识解释抽象的概念

一些不易解释清楚的线性代数概念，利用线性方程组知识来讲解，往往能使问题简单化。例如，求向量组的秩时，只需要将向量组中各向量作为列向量组成矩阵后，只作初等行变换将该矩阵化为行阶梯形矩阵，则可直接写出所求向量组的秩和极大无关组。

解：可以先把向量组作为列向量组成矩阵A，再利用初等行变换将A化为行最简形矩阵B：

上面给出的是例1的完整解法，应该说教师在课堂上都能轻松地按此法讲解。可是，由于授课对象是文科生，“有相同的线性组合关系”这一概念，单靠教师的语言解释学生很难弄明白。利用同解线性方程组知识可以帮助学生理解这一概念，尽管一般情况下线性方程组的内容安排在向量组的线性相关性内容的后面，这并不妨碍我们先拿来用。

同时成立，即矩阵A的列向量组与B的对应的列向量组“有相同的线性组合关系”。

2 分层次教学的有效实施

目前，线性代数等数学课程的分层次教学引起了高校的重视，在获得了一些宝贵经验的同时，也有不少待完善之处。笔者认为，对于文科线性代数课程来讲，分层时既要充分考虑学生的数学基础和数学认知能力，又要充分考虑学生对知识的不同需求和学习兴趣，真正做到因材施教，因需施教；宜把学生分成A、B两个层次，应允许学生自愿选择适合自己的层次。

A层次学生的数学基础相对比较好，理解能力与领悟能力均较强，对数学有一定兴趣。由于以后考研或者从事科学研究的需要，他们对线性代数有较高的需求。教师在教学过程中，可对教学内容进行扩充，加大难度，拓展知识面；可采用启发式、问题发现式等教学方法；对于教材中一些简单的基本概念，可以先让学生自学，然后在课堂上做简要的讲解；对于比较抽象的定理、公式等内容，课堂上要进行详细的推导和讲解，要让学生理解线性代数的内涵，掌握线性代数的理论体系。

对于 A层次学生的教学，还要注重新知识的引入和传授，以拓宽学生的视野，提高学生的学习兴趣。例如，在讲解矩阵的迹时，可以特别强调迹为零的矩阵。迹为零的矩阵就是对角线元素之和为零的矩阵，但是怎样能得到这样的矩阵呢？在让学生思考之后，教师可以这样讲解：对任意给定的n阶方阵A和B，可定义一种新的运算由此得到的矩阵都是迹为零的矩阵，而这种运算刚好是李代数中的一个最基本的运算，典型的李代数在矩阵上的实现都是迹为零的矩阵。这样，可以让学生看到，矩阵的迹这个古老的知识点在现代数学中仍然具有很强的生命力（李代数是现代数学的一个主流研究方向）。再如，在讲解线性空间的概念时，可以引入群的概念。线性空间所要满足的四条法则，刚好就是交换群或者Abel群的定义，而群又是近世代数的基础知识，在现代数学中也是一个很热门的研究方向。通过引入群的概念，不但能提高学生的学习兴趣，也有利于学生掌握线性空间的概念。

对于B层次的学生来说，线性代数的教学应以“够用”为主要目的，即要能够满足学生学习后续课程的需要，要能够满足学生毕业后的工作需要。因此，在教学过程中，教师要结合教学重难点适当调整学时；要减少运算技巧的训练，适当强化数学思想和方法的培养；要强化知识的直观性和应用性，尽量通过实例或图形来说明概念；要重视定理和公式的应用，一些定理的证明和公式的推导可以少讲或不讲；讲解例题时要由易到难，由浅入深；要注重归纳类比、逻辑推理等方面的训练，以提高学生的综合能力。

3 作业的有效性

在文科线性代数课程的教学中，通常学生在课堂上回答问题的积极性非常高，课堂气氛十分活跃，但不少学生并没有真正理解相关知识的内涵。课堂或课后作业对文科线性代数课程来讲十分重要，它有利于学生掌握和巩固学习内容，也是教师了解学生对教学内容掌握情况的有效途径。

常规性作业一般是课后习题，它能满足基本的教学需要。教师在布置作业时不仅要充分考虑学生的基础和学习需求，还要根据分层次教学的需要体现层次性。教师评价作业的原则要明晰，要鼓励学生根据典型例题进行题目变形，要通过有效的措施尽量杜绝抄袭作业现象。笔者认为，为了调动学生学习的积极性和主动性，随堂闭卷练习是必不可少的。在一章讲完后，教师要对章节的知识点进行归纳总结，并进一步明确所要达到的教学目标，然后安排一节课左右的时间进行闭卷练习。闭卷练习的题目应以课后的习题为主，不宜过难，但可以灵活地加入一些新的题型，以便在检验教学效果和督促学生独立完成课后作业的同时，培养学生的创新意识和创新能力，提升学生的综合素质。

[1] 戴斌祥．线性代数[M]．北京：北京邮电大学出版社，2009．

[2] 李尚志．由问题出发引入线性代数概念[J]．高等数学研究，2006，9(5)：6―8．

[3] 黄玉梅，李彦．非数学专业线性代数教学改革探讨[J]．重庆文理学院学报，2009，28(5)：87―89．

[4] 何楚宁．大学文科线性代数课程教学构想[J]．长沙铁道学院学报，2009，10(3)：101―103．

[5] 王红庆．浅谈文科高等数学教学[J]．山西师大学报，2009，36(5)：142―143．

G642.4

A

1006-5261(2012)02-0096-02

2011-09-07

李小朝（1981―），男，河南新蔡人，讲师，博士．

〔责任编辑 张继金〕