Minkowski平面的多序半群与多序半线性空间

葛力铢,李武明

(1.通化师范学院 数学系,吉林 通化 134002:2.吉林师范大学 数学学院,吉林 四平 136001)

1 预备知识

1.1 Minkowski平面的表述

Minkowski平面(亦称时空平面，简记为M平面)是带有Minkowski内积(简称M内积)的2维实线性空间，有多种表述方式.

例1 在双曲复平面H={x+jy|x,y∈R,j2=1,j∉R}上引入M内积：

(x1+jy1)·(x2+jy2)=x1x2+jy1(jy2)*=
x1x2+jy1j*y2=x1x2-y1y2,

则H平面成为Minkowski平面.

例2 在2维实线性空间R2={(x,y)|x,y∈R}上引入M内积

(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2-y1y2

则R2成为Minkowski平面.

例3 4维实Clifford代数Cl1，1的生成空间R1，1={xe1+ye2|x,y∈R},作为Cl1,1的2维子空间关于Cl1,1的内积：e1·e1=1,e2·e2=-1,e1·e2=e2·e1=0作为Minkowski平面.

本文由R1,1表述Minkowski平面.

1.2 定义与例子

定义1 设(G,+)为半群，(A,+,·)为半环.若存在映射：A×G→G,(r,g)|→rg使得∀g1,g2∈G,r1,r2∈A有

(1)r1(g1+g2)=r1g1+r1g2(g1+g2)r1=g1r1+g2r1,

(2)(r1+r2)g1=r1g1+r2g1,(r1r2)g1=r1(r2g1)

则称G为半环A上的半线性空间(简称半线性空间).

定义2 设(A，+，·)是半环，若半群(A，+)还是半环P上半线性空间，且∀a∈P,x,y∈A有a(xy)=(ax)y=x(ay),则A为半环P上半线性代数.

定义3 (序半群)设G为半群，是G的一个半序关系，使当ab(a,b∈G)时，对∀c∈G有caG有cacb与acbc成立，则称G为序半群，记为(G,).

定义4 (序半线性空间)设(G,)为序半群.若G还是半环A上半线性空间，使得ab时，对任意r∈A有rarb，则称(G,)为序半线性空间.

2 Minkowski平面的多序半群结构

2.1 定义与例子

定义5 (多序半群)设G是一个半群，i(i∈I)为G的半序关系，(G，i)i∈I称为多序半群.设J⊆I,则称(G，j)j∈J为多序半群(G,i)i∈I的限序半群.

例4J=I时，(G,j)j∈J=(G,i)i∈I;J=φ时，(G,i)i∈I的平凡限序半群.|J|=1时，存在i=1使得(G,j)j∈J=(G,i).

上例表明，半群与序半群均为多序半群的特殊情形.

定义6 (多序半线性空间)设(G，i)i∈I为多序半群，若G还是(半环R上)半线性空间，使得任取i∈I有(G,i)是序半线性空间，则称(G，)i∈I为多序半线性空间.

例5 类同与例4可知，半线性空间与序半线性空间均为多序半线性空间的特殊情形.

对于Minkowski平面R1，1={xe1+ye2|x,y∈R}，定义其未来类时区为

在R1，1中引入半序关系：ab⟺则(R1，1,)为序半线性空间.

定义7 (多序锥)设G为半群，(G，)为序半群，令

G(a,)={b∈G|ab}

称其为G的以a为顶点的半序锥.

例6 对于例5中的(R1，1，)，∀a∈R1，1，R1，1的以a=a1e1+a2e2为顶点的半序锥为R1，1(a,)={b=b1e1+b2e2∈R1，1|b2-a2≥|b1-a1|，等号成立当且仅当a=b}.

2.2 Minkowski平面R1，1的类时半群，类空半群与类光半群

∀w=xe1+ye2∈R1，1,w·w=x2-y2<0(>0,=0)时分别称为类时(类空，类光)向量.

R1，1中所有类光向量所成集可记为N={w∈R1，1|w·w=0}，它将R1，1中的向量分成四部分，记为R1，1(i),i=1,2,3,4

易知，(R1，1(i),+)均为(R1，1,+)的子半群.且R1，1(i)中的非零元为非类光向量，称R1，1(2)(R1，1(1))与R1，1(4)(R1，1(3))为R1，1的类时(类空)半群，与此相对应，零向量将全体类光向量N分成四部分，记为N(i),i=1,2,3,4

(N(i),+)也构成(R1，1,+)的子半群，称为R1，1的类光半群.

利用如上半群，可构建R1，1的多序半群结构

例7 令w1iw2⟺w2-w1∈R1，1(i)，则(R1，1,i)(i∈{1,2,3,4})为序半群，而(R1，1,i)i∈{1,2,3,4}为四序半群.

例8w1～2wi⟺w2-w1∈N(i)，则(R1，1,～i)i∈{1,2,3,4}也是四序半群.

例9 将例7及例8中的R1，1看做半环R+上的半线性空间，则(R1，1,i)i∈{1,2,3,4}与(R1，1,～i)i∈{1,2,3,4}均为多序半线性空间.

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