一类高阶非线性泛函方程的振动准则

戴丽娜，林全文

(广东石油化工学院 理学院,广东 茂名 525000)

1 概述

其中:K≥1的正整数，函数P(t)，Qi(t)：I→R＋＝(0,∞),I是R＋上的无界子集；g:I→I,且.定义gi为g的i次迭代，即

关于微分与差分方程解的振动性问题已有许多研究成果，文献中大量涉及这些方程的振动准则，可参看专著[1－2]及其引文；但是，关于迭代泛函方程振动研究的成果则比较少.这类方程（尤其是作为其特例的循环方程）有着广泛的应用.它们可以用来描述生物、气象、经济等领域中的许多过程，因此，近年来迭代泛函方程的振动性问题越来越受关注，具体可参看文献[4－12].

本文中，笔者利用与文献[7]不同的方法，对变系数函数方程（1）一切解的振动性进行讨论，并得到新的振动准则，推广了文献[4－5]的某些结果.

引理1[7]4151）如果，方程

考虑非线性泛函方程

没有正实根；

引理2[7]415设，定义序列如下：

2 主要结果

定理1 假如

则方程（1）的一切解振动.

证 假设方程（1）有非振动解x(t)，不妨设x(t)＞0,t∈I,t≥t1∈I.因，故存在t2∈I,t2≥t1，使得 x(gK＋i(t))＞0,t∈I,t≥t2.因此由方程（1）得

通过迭代，有

把式（5）代入式（1），得

由条件（4），存在一个ε＞0和t3≥t2，使得当t∈I,t≥t3时，有

将式（7）代入式（6），得

即

由上式再次迭代，可得

对上面的式子进行迭代，得

将上式代入式（1），得

其中，

用数学归纳法可证明1＞…＞βn＞βn－1＞…＞β1＞(A－ε)，故有存在.令n→∞，式(8)两边取根得

令u＝1－β，则有

定理2 假设

且

证 假设方程(1)有非振动解x(t)，不妨设x(t)＞0,t∈I,t≥t1∈I.因，故存在t2∈I,t2≥t1，使得x(gK＋i(t))＞0,t∈I,t≥t2.因此由方程(1)得

由上式迭代得

将式（12）代入式（1）且结合（10）与（12），得

即

式（13）通过迭代有

由式（1），（10）和（14），得

不断重复上述过程得

再次迭代，得

和

由式(1)和(16),有

由式(1),(17)和(18),有

令n→∞,t→∞,由上式得

这与式(11)相矛盾.

推论1 假设

则方程(1)的一切解振动.

显然，当m＝1，K＝1时，方程(1)为文献[4－5]给出的方程，笔者所得结果为其推广.

3 应用

方程(1)包括具有离散变量和连续变量的差分方程作为其特殊情形.如果令g(t)＝t－τ,τ∈R＋,I＝R＋，则方程(1)化为具有连续变量的差分方程

由定理1和定理2，可以得到定理3.

定理3 假设下列条件之一成立：

则方程（19）的一切解振动.

如果令g(t)＝θt，θ∈(0,1)，则方程（1）化为无穷时滞的差分方程

仍由定理1和定理2，还可以得到以下定理4.

定理4 假设下列条件之一成立：

则方程(20)的一切解振动.

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