敏感问题问卷调查Warner模型与卡片参数P的设计

孙 萍，赵东方

（1.乌鲁木齐职业大学，乌鲁木齐 830002；2.华中师范大学 数学与统计学学院，武汉430079）

0 引言

敏感性问题是指与个人（或单位）的隐私（或私人利益）有关而不便向外界透漏的问题。例如，是否存在行贿、受贿情况，考生是否存在考试作弊，个体工商户是否偷税、漏税，是否为同性恋者等。对于这些敏感性问题，若采用直接问答的形式，被调查者就会产生抵触情绪，拒绝回答，或者，接受调查但不愿据实回答。

抽样调查中，经常会遇到敏感性问题的调查工作，由于涉及到被调查者的隐私问题，很难得到被调查者的配合，因此造成了调查的困难、以及调查结果的不准确。

1965年，S.L.Warner设计了一种随机问答方法，巧妙的解决了这个问题[1]。1969年，B.G.Greenberg改进了S.L.Warnerder的方法[2]。现在，S.L.Warner的随机调查法得到了广泛的应用[3][4]。

1 S.L.Warner随机问卷调查模型

随机问答法的具体步骤如下：

第1步：调查问卷的卡片，每张卡片只问下列问题之一

问题1：你属于集合A

问题2：你不属于集合A

假设问题1共有a张卡片，问题2共有b张卡片，要求：p=a/(a+b)≠1/2，其中，p叫做卡片参数。

第2步：被调查者随机抽取一张卡片，卡片上只有一个问题，被调查者只回答“Yes”，或者“No”，然后，将卡片放回卡片盒。

在整个调查过程中，调查人不知道被调查者回答的是哪个问题，只知道回答结果Yes或No，这样，被调查者就有很大的可能说真话。

第3步：假设调查了n个人，m个人回答“Yes”，根据全概率公式：

于是，我们就可以得到百分比α的估计值。

【案例1】某地调查个体工商户偷税漏税问题

问题1：我偷过税

问题2：我从不偷税

卡片设计：卡片参数p=1/6，即，6张卡片有一张是问题1，其余5张是问题2。

调查过程：被调查者随机抽取一张卡片，看见问题后，将卡片保密放回卡片盒，然后告诉调查人，Yes或No。

调查结果：随机调查100个个体户，共有75人回答“Yes”，根据公式计算可得：

于是，我们可以认为，某地可能有1/8=12.5%的个体户偷过税。

2 B.G.Greenburg的改进模型

S.L.Warner的随机调查法，其中两个问题都与敏感性话题直接相关，很容易引起被调查者的戒备，所以，B.G.Greenburg建议，用其它一个毫不相干的问题代替问题2。

调查问卷的卡片，只问下列问题之一

问题1：你属于集合A

问题2：你属于集合B

假设，属于集合A的人群的百分比为αA（待求指标），属于集合B的人群的百分比αB（已知指标），问题1共有a张卡片，问题2共有b张卡片，p=a/(a+b)，被调查者共有n人，其中m人回答Yes，那么就有：

从中解出αA：

【案例2】某高中调查学生谈恋爱比例

问题1：我谈过恋爱

问题2：我的身份证尾数是奇数

相对于问题1，αA待求；相对于问题2，αB=1/2。

卡片参数：p=9/10，即，10张卡片中有9张是问题1。

被调查者n=100，其中，23人回答Yes，即，m=23，根据公式计算：

于是，我们可以认为，这所高中大约有20%的学生谈过恋爱。

3 卡片参数 p的讨论

3.1 S.L.Warner模型的卡片参数 p的讨论

在S.L.Warner模型中，待求百分比α=1/(2p-1)(p-1+m/n)p≠1/2，其中，卡片参数p的取值，必须使得0≤α≤1，下面，我们画出α的图形：

图1 m/n＜0.5的图形

图2 m/n＞0.5的图形

图中p轴上方水平线对应α=1。

通过观察图形，我们看到0≤α≤1的条件并不总是得到满足，特别是在p=0.5附近，这个条件完全被破坏，于是，为了确保0≤α≤1成立，我们就要考虑卡片参数p的取值范围。

总的原则：p的取值要远离0.5。

若取p＜0.5，由，可以得到，，即，根据所调查的问题的背景知识，卡片参数p应该尽可能的小。例如，已知患艾滋病的人群比例比较小，可以取p=1/9、p=1/10等等（此时，10张卡片有一张是问题1：你有艾滋病？）。

若取p＞0.5，由，可以得到，，即，根据所调查的问题的背景知识，卡片参数p应该尽可能的大。例如，已知有某种坏习惯的人群比例比较大，可以取p=7/10、p=9/10等等（此时，10张卡片有9张是问题1：你有×××坏习惯？）。

3.2 B.G.Greenberg改进模型卡片参数p的讨论

即，卡片参数p应该尽可能大一点。

总结：卡片参数p的取值范围，总的设计原则是，（1）在S.L.Warner模型中，p的取值应该远离0.5；（2）在B.G.Greenberg的改进模型中，p的取值应该尽可能靠近1。

[1]Warner,S.L.Randomized Response:A Survey Technique for Elimi⁃nating Evasive Answer Bias[J].Journal of the American Statistical As⁃sociation,1965,(60).

[2]Greenberg,B.G.,et al.The Unrelated Question Randomized Re⁃sponse Model:Theoretical Framework[J].Journal of the American Sta⁃tistical Association,1969,64(326).

[3]M.Ostapczuk,M.Moshagen,Z.Zhao,J.Musch.Assessing Sensitive Attributes Using the Randomized-response-technique:Evidence for the Importance of Response Symmetry[J].Journal of Educational and Behavioral Statistics,2009,(34).

[4]M.Ostapczuk,J.Musch,M.Moshagen.A Randomized-response In⁃vestigation of the Education Effect in Attitudes towards Foreigners[J].European Journal of Social Psychology,2009,(39).

[5]赵东方.数学实验与数学模型[M].武汉：华中师范大学出版社，2003.

[6]赵东方.数学模型与计算[M].北京：科学出版社，2007.