含Hardy位势的超线性p-Laplace方程的无穷多解

陈自高， 谷留新

(华北水利水电学院 数学与信息科学学院 河南 郑州 450011)

0 引言

考虑含Hardy位势的p-Laplace方程的Dirichlet问题

(1)

(2)

(3)

(f3)存在μ>0及r>0,对x∈Ω,|s|≥r及t∈(0,1]，有Φ(t,s)≤μΦ(1,s);

(f4)对(x,s)∈Ω×R，有f(x,-s)=-f(x,s).

定理1假设非线性项f(x,s)满足条件(f1)～(f4)，则椭圆问题(1)存在无穷多解{uk}k∈N满足当k→∞时,

1 带Cerami条件的喷泉定理

则由条件f(3)，可以得到

引理2在假设(f1)～(f4)下，则泛函I满足Cerami条件．

证明下面验证泛函I满足文献[1]中定义2.1的(i)、(ii)．

I(uk)→c,‖uk‖→∞,|I′(uk)|·‖uk‖→0.

(4)

由假设易知〈I′(uk),uk〉→0,对任意K>0的常数，令

(5)

下面分两种情况产生矛盾，如果w恒为零，由wk(x)→w(x)=0,a.e.x∈Ω，则

由引理1

(6)

在式(5)中取K=C0，则有‖wk‖p=2C0，这与式(6)矛盾，因此w恒为零不成立．

如果w不恒为零，由式(4)知

设Ω0={x∈Ω∶w(x)=0}，则|ΩΩ0|>0,于是

(7)

对于x∈ΩΩ0，有|uk(x)|→+∞，从而由条件(f2)得

由Fatou引理，并注意到|ΩΩ0|>0，有

(8)

(9)

联合式(7)～(9)，便可得到一个矛盾， 故w不恒为零不成立．综上可得w恒为零和不恒为零均不成立，这是不可能的，因此泛函I满足Cerami条件．

众所周知，Cerami条件比(PS)条件弱，但和(PS)条件一样，Cerami条件足以保证(第一)形变引理成立，所以可以在Cerami条件下得到喷泉定理．下面利用带Cerami条件的喷泉定理证明问题(1)无穷多解的存在性．

2 定理1的证明

注意到βk→0以及q>p，由上式可得

(10)

(11)

(12)

由式(10)～(12),对u∈Yk,有

于是由文献[1]中带Cerami条件的喷泉定理知，泛函I有一列趋于+∞的临界值．

[1] Liu Shibo，Li Shujie．Infinitely many solutions for a superlinear elliptic equation[J]．Acta Math Sinca，2003，46(4)：625-630．

[2] Chen Zhihui，Shen Yaotian．Infinitely many solutions of dirichlet problem forp-mean curvature operator[J]．Appl Math J Chinese Univ：Ser B，2003，18(2)：161-172．

[3] Ubilla P．Multiplicity results for the 1-dimensional generalizep-Laplacian[J]．J Math Ananl Appl，1995，190(2)：611-623．

[4] 余博强，姚仰新，郑秋芳，等．含位势的超线性p-Laplace方程的无穷多解的存在性[J]．南京师大学报：自然科学版，2010，33(3)：14-18．

[5] 耿堤．含极限次临界增长项p-Laplace方程的无穷多解[J]．应用数学和力学,2007，28(10)：1223-1231．

[6] 沈尧天，李周欣．含临界指数的p-Laplacian方程的特征问题[J]．华南理工大学学报：自然科学版，2005，33(11)：111-114．

[7] Caffarelli L，Kohn R，Nirenberg L．First order interpolation inequality with weights[J]．Compos Math，1984,53(3)：259-275．

[8] 杨海，范先令．带有p-凹凸非线性项的p-Laplace方程的无穷多解的存在性[J]．兰州大学学报：自然科学版，1999，35(2)：12-16．