一种模态参数识别的虚假模态剔除技术＊

王树青，王典鹤，林裕裕，王巍巍，李 慧

（1.中国海洋大学山东省海洋工程重点实验室，山东青岛266100；2.海洋石油工程股份有限公司，天津300451）

一种模态参数识别的虚假模态剔除技术＊

王树青1，王典鹤1，林裕裕1，王巍巍2，李 慧2

（1.中国海洋大学山东省海洋工程重点实验室，山东青岛266100；2.海洋石油工程股份有限公司，天津300451）

针对背景噪声下结构的模态参数识别结果存在虚假模态的情况，分析虚假模态产生的原因，通过理论推导提出辨别虚假模态的判断条件，根据判断条件剔除识别模态参数中包含的虚假模态。以比例阻尼海洋平台结构数值模型为例，在模拟噪声水平5%的工况下，获得结构脉冲响应信号，对基于奇异值分解定阶消噪后的信号用复指数法进行模态参数识别，对识别的模态频率和阻尼比进行虚假模态剔除。结果表明：根据判断条件可有效剔除所识别参数中的虚假模态。

模型定阶；信号消噪；复指数法；模态参数识别；虚假模态

模态参数识别技术广泛应用于工程领域，成为解决各类工程问题的重要手段。传统的模态参数识别方法建立在已知系统输入激励和输出响应的基础上，可以根据输入输出信息利用实验模态分析得到系统模态参数。但工程实际中，激励信号很难获得，往往只能获得含噪声的响应信号，因此基于输出响应的模态参数识别技术受到重视。

近年来，基于输出响应的模态参数识别技术已得到一定发展。受测量噪声影响，识别结果通常包含虚假模态，如何辨识并剔除虚假模态成为参数识别过程的关键问题，直接影响了参数识别技术在工程实际中应用的效果。目前虚假模态的剔除主要是从模型定阶和信号消噪方面入手，传统的模型定阶方法有利用模态置信因子定阶的方法、曲线拟合法、稳定图法等。Guid De Roeck［1］证明了模态置信因子有时会由于噪声的影响而失效；曲线拟合法根据实测信号产生数值模型，进而生成模拟信号，由于实测信号本身存在误差导致这一方法的使用受到了限制；稳定图表示的是模态参数与模型阶次的关系，理论上随模型阶次的增加，真实的模态参数会趋于稳定而虚假模态却不会，但实际上识别结果中真实模态参数也会存在不稳定性，导致稳定图法有时也会失效。

近年来发展了一些基于奇异值分解的定阶消噪技术，易伟建［2］等提出了根据残差期望比进行模型定阶的方法；周帮友［3］等提出根据奇异值差值进行模型定阶的方法；针对密集模态模型，黄应来［4］等提出加逆衰减指数窗与带通滤波结合的密集模态分离方法。王树青［5－6］等采用归一化出现次数的方法来确定模型阶次。对于较简单的结构，通过前面的模型定阶和信号消噪方法可以有效剔除虚假模态，得到较理想的模态参数识别结果。但当结构变得复杂，通常计算采用的模型阶次高于真实的模型阶次，考虑了噪声模态的影响［7］，仅通过模型定阶和信号消噪过程不能完全剔除虚假模态。本文提出对模态参数识别后进行虚假模态剔除的方法，该方法以比例阻尼结构为模型，基本思想是：比例阻尼模型中模态频率与阻尼比之间满足一定的比例关系，据此提出2个判别条件：条件一，各阶模态频率和阻尼比的乘积呈递增趋势；条件二，各阶阻尼比与模态频率的比值近似相同。通过此判别条件可以判断所识别模态频率和阻尼比的真假。

1 模型阶次的确定和信号消噪

1.1 Hankel矩阵秩估计［8］

用｛hl｝，l＝1，…，s表示N自由度系统的脉冲响应序列，利用该序列构建Hankel矩阵Hm×n

对矩阵进行奇异值分解，有

式（2）中：矩阵U和V为正交矩阵；∑为对角矩阵，其对角元素为降序排列的奇异值。理论上，信号不受噪声影响时，超出矩阵秩的奇异值为0，若矩阵的秩为r，则有

对于受噪声影响的实测信号，超出矩阵秩的奇异值并不等于0，但会趋于1个较小值ε，使式（4）成立，可据此确定模型的阶次。

1.2 基于迭代平均的信号消噪技术［9］

对脉冲响应信号的降噪处理属于线性数学中的低秩逼近（Low rank approximation）范畴，即对线性时不变系统的脉冲响应序列逼近，以达到Frobenius范数优化准则。对给定的Hankel矩阵H，要得到满足Frobenius范数优化的低秩逼近矩阵，可采用截断奇异值分解法，但得到的结果矩阵不满足Hankel矩阵的形式，为维持Hankel矩阵形式，可采用迭代平均的方法，概述如下：

（1）选定适当的秩r，采用截断奇异值分解法得到对原Hankel矩阵H低秩逼近的矩阵。此时，不满足Hankel矩阵的形式。

将步骤（1）和（2）交替迭代使用，直到满足收敛标准。

1.3 模态参数识别方法

模态参数识别方法主要分两类：频域法和时域法。时域法仅利用输出的响应信号识别系统的模态参数，因而受到专家学者的关注。发展相对成熟的时域识别方法有复指数法、特征系统实现算法（ERA法）、随机子空间法等。本文中采用单参考点复指数法进行模态参数识别，详细理论见参考文献［10］。

2 虚假模态的剔除

虚假模态产生的原因主要有两方面：一方面是由于计算过程中不合理的模型阶次估计导致的；另一方面是由于实际应用中输入信号不满足白噪声的假定和／或输出信号受到环境的干扰而导致的［11］。基于Hankel矩阵奇异值分解的模型定阶消噪技术多数情况下可以实现合理的模型定阶和信号消噪，但在结构较复杂或噪声严重的情况下识别结果中仍可能包含虚假（或准确度低）的模态。对于比例阻尼系统，通过下面的推导寻找系统模态参数（模态频率和阻尼比）之间的关系，并提出剔除虚假模态的判别条件，根据判别条件对识别结果进行虚假模态剔除，从而获得真实可信的模态参数。具体推导过程如下：

1个N自由度的动力系统可以用1个二阶线性微分方程表示：

其中：M、C和K∈RN×N分别为质量、阻尼和刚度矩阵；分别为位移、速度和加速度向量。系统的第k阶特征值表示如下：

式中：ωk为系统第k阶模态频率；ζk为第k阶模态阻尼比。

假定结构满足Rayleigh阻尼形式，即阻尼矩阵［C］＝α［M］＋β［K］，比例系数α、β可以用任意已知的两阶振型的阻尼比来确定，如式（7）：

对第k阶模态，有

定义参数Ak，令

式中：α、β均为常数，且β＞0，对于固有频率ωk，有

因此，Ak满足下式条件

定义参数γk，令

比例系数α、β∈（0，1），当模态频率ωk较小时，＜α，γk大于1且接近1；随着模态频率值的增大＞α，此时可近似认为

此时，有

令ηk＝ζk／ωk，可定义1个合理的系数区间（a，b），使

式（15）中系数区间（a，b）的选取可根据要求的识别精度而定，例如可取区间为（0.9，1.1），a，b的乘积约为1，如果要求精度较高，则需取1个范围较小的系数区间，相反，扩大区间范围也就相应降低了识别精度，因为误差较大的识别参数会被作为真实结果而输出。由上述推导可以看出，条件一为模态频率和阻尼比的乘积，为递增关系；而条件为阻尼比与频率的比，

其值对各阶模态近似相等。利用这2个条件就可以判断识别模态的虚假。同时，也应指出系数区间（a，b）的选取依赖于技术人员的经验。剔除虚假模态的流程如图1。

图1 剔除虚假模态流程图Fig.1 Flowchart of false mode elimination

3 数值模拟

3.1 海洋平台数值模型

本文采用海洋平台结构模型（见图2）。平台位于渤海海域，为四桩腿导管架结构，就位水深为11.1 m。平台甲板面积为21 m×16 m，甲板采用板、梁结构，Y向设4根主梁，X向设4根主梁，主梁为H700工字钢。导管架设3层水平横撑，分别位于－11.1、－4.0和＋4.0 m处，在－11.1～－4.0 m处设竖向斜撑。工作点（17～20点）高程为6.6 m。导管架顶（高程EL＋5.0m）为13 m×8 m，导管架底（高程EL－12.6 m）为16.84 m×11.84 m，导管尺寸为Φ1 350 m×24 m，斜度为1／10，桩尺寸为Φ1 200 m×26 m，固结点（45～48）高程取为－21.8 m。水平外围横撑尺寸为Φ700 mm×22 mm，水平内围横撑及斜撑尺寸均为Φ500 mm×18 mm。钢材密度取7 850 kg／m3，弹性模量为2.1×1011Pa，泊松比0.3。结构采用Rayleigh阻尼（C＝αM＋βK），考虑到斜向激励，因此采用第1阶和2阶频率来计算系数α、β，阻尼比取为0.02，从而得出α、β分别为0.038和0.002。结构固有频率（前6阶）：2.199 7、2.393 2、2.614 0、4.079 7、4.366 6、5.480 4 Hz；阻尼比（前6阶）：0.015 2、0.016 3、0.017 6、0.026 4、0.028 1、0.035 0。结构第2阶和第4阶模态分别为Y向第1阶和第2阶模态，结果列于表1中。

图2 Matlab建立平台结构数值模型Fig.2 Platform model produced by MATLAB

表1 平台结构Y向前2阶模态频率（Hz）和阻尼比Table 1 The first two modal frequencies（Hz）and damping ratios of platform in Y direction

利用Matlab编程建立平台结构数值模型，模拟产生单位脉冲激励，同时作用在29和31结点Y方向上，获得平台结构的脉冲响应信号，分别取14、19、20、24结点的信号进行模态参数识别。模拟白噪声信号叠加到脉冲响应序列中，噪声水平通过一个百分比来定量描述，该百分比定义为白噪声的标准差和精确信号的标准差之比。算例中采样频率为200 Hz，信号长度为1 024个点。

3.2 结构模态参数识别及虚假模态剔除

分别获得14、19、20、24结点Y向含5%噪声的脉冲响应信号。根据响应信号分别构建Hankel矩阵得到的奇异值归一化曲线如图3，按曲线趋于平稳处确定模型阶次，则各结点可确定的模型阶次均为4阶，可识别的模态阶数均为2。为避免遗漏模态，并验证所提出方法的有效性，下面按2种情况确定模型阶次：第一种情况将各点模型阶次确定为6阶，则识别结果中包含3阶模态；第二种情况将各点模型阶次确定为10阶，则识别结果中包含5阶模态。

图3 14、19、20、24结点信号奇异值归一化曲线Fig.3 Normalized singular value of node signal at 14，19，20 and 24

分别按2种定阶结果进行信号消噪，用复指数法参数识别得到模态频率和阻尼比，按模态阶数N＝3识别的结果见表2，按模态阶数N＝5识别的结果见表3。

当按模态阶数N＝3进行识别时，以14结点为例，对Y向响应信号的识别结果进行虚假模态剔除如下：ζ1＝0.016 6∈（0.01，0.1），第1阶模态为真实模态，予以保留；，因为A2＞A1，满足条件一，（0.9，1.1）η1，不满足条件二，所以第2阶模态为虚假模态，予以剔除10－3，A3＞A1且η3＝0.94η1∈（0.91，1.1）η1，同时满足条件一和条件二，第3阶模态为真实模态，予以保留。

表2中斜体部分的模态参数均被作为虚假模态而剔除，与表1中结构的真实模态频率和阻尼比相比，可以看出剔除虚假模态后得到了准确的结果。

表2 14、19、20、24结点信号模态频率（Hz）和阻尼比的识别结果（N＝3）Table 2 Identification of modal frequencies（Hz）and damping ratios using response signal of nodes14，19，20 and 24（N＝3）

表3 14、19、20、24结点信号模态频率（Hz）和阻尼比的识别结果（N＝5）Table 3 Identification of modal frequencies（Hz）and damping ratios using response signal of nodes14，19，20 and 24（N＝5）

当按模态阶数N＝5进行识别时，以14结点为例，对Y向响应信号的识别结果进行虚假模态剔除如下：ζ1＝0.016 7∈（0.01，0.1），第1阶模态为真实模态，予以保留；同时满足条件一和条件二，第2阶模态为真实模态，予以保留；不满足条件二，第3阶模态为虚假模态，予以剔除；，满足条件一但不满足条件二，第4阶模态为虚假模态，予以剔除；不满足条件一，第4阶模态为虚假模态，予以剔除。

值得注意的是按N＝5进行参数识别时，24结点信号识别的第2阶模态参数值被作为虚假模态剔除，这是因为条件二选取的系数区间（0.9，1.1）范围较小，对识别结果的精度要求较高，与其它3个结点的第2阶识别结果相比，可明显看出24结点的识别误差较大，所以被作为虚假模态而剔除；对24结点识别的第3阶模态是结构的高阶（第17阶）模态，该阶模态参数真实值为：频率12.486 1Hz，阻尼比0.078 7。所以按模态阶数N＝5识别，剔除虚假模态后同样得到了准确的结果。

4 结语

对复杂的比例阻尼海洋平台结构，根据结构的模态频率与阻尼比之间存在的关系推导出判别虚假模态的条件，利用复指数法对定阶消噪后的脉冲响应信号（噪声水平5%）进行模态参数识别，然后根据判别条件对识别结果进行虚假模态剔除，结果表明该方法可以有效剔除识别结果中包含的虚假模态参数值。文中仅对比例阻尼系统的单参考点复指数法模态参数识别进行了分析，对采用其它方法识别的参数进行虚假模态剔除效果还需进一步验证。当结构阻尼形式发生改变时，模态参数之间的关系也随之发生相应改变，但仍可根据模态参数间存在一定关系的思想，推导出剔除虚假模态的判断条件，用于定阶消噪参数识别后的虚假模态剔除。

［1］ Guido De Roeck，Bart Peeters，Wei－Xin Ren.Benchmark study on system identification through ambient vibration measurements［C］.San Antonio：Proceedings of 18thIMAC，2000.

［2］ 易伟建，刘翔.动力系统模型阶次的确定［J］.振动与冲击，2008，27（11）：12－16.

［3］ 周帮友，胡绍全，杜强.特征系统实现算法中的模型定阶方法研究［J］.科学技术与工程，2009，9（10）：2715－2722.

［4］ 黄应来，董大伟，闫兵.密集模态分离及其参数识别方法研究［J］.机械强度，2009，31（1）：8－13.

［5］ Wang Shuqing，Li Huajun，Takayama T.Modal identification of offshore platform using statistical method based on ERA［J］.China Ocean Engineering，2005，19（2）：175－184.

［6］ Wang Shuqing，Liu Fushun.New accuracy indicator to quantify the true and false modes for eigensystem realization algorithm［J］.Structural Engineering and Mechanics，2010，34（5）：625－634.

［7］ Allenmang R J，Brown D L.A unified matrix polynomial approach to modal identification［J］.Journal of Sound and Vibration，1998，211（3）：301－322.

［8］ Hu S L J，Bao Xingxian，Li Huajun.Model order determination and noise removal for modal parameter estimation［J］.Mechanical System and Signal Processing，2010，24（6）：1605－1620.

［9］ Tufts D，Shah A.Estimation of a signal waveform from noisy data using low－rank approximation to a data matrix［J］.IEEE Trans Signal Process，1993，41（4）：1716－1721.

［10］ 傅志方，华宏星.模态分析理论与应用［M］.上海：上海交通大学出版社，2000.

［11］ 常军，张启伟，孙利民.随机子空间产生虚假模态及模态遗漏的原因分析［J］.工程力学，2007，24（11）：57－62.

A Technique of False Mode Elimination in Modal Parameter Identification

WANG Shu－Qing1，WANG Dian－He1，LIN Yu－Yu1，WANG Wei－Wei2，LI Hui2
（1.The Key Laboratory of Ocean Engineering of Shandong Province，Ocean University of China，Qingdao 266100，China；2.Offshore Oil Engineering CO，Ltd，Tianjin 300451，China）

Under noisy background，structural modal parameter identification includes false modes.The causes of false mode in the identified modes were analyzed and two criteria of discriminating false modes from system modes were derived in this paper for eliminating the false modes.Numerical study was conducted of an offshore platform with Rayleigh damping system.First the structural impulse response signal was acquired and a level of 5%noise was added to the simulated signal.Then singular value decomposition was used for noise elimination and Least Square Complex Exponential method（LSCE）was taken to identify the modal parameters.Finally the two discrimination criteria were used for false modes elimination.The results show that the criteria are efficient in eliminating false modes.

mode order determination；signal de－noising；complex exponential method；modal parameter identification；false mode

P752

A

1672－5174（2012）09－097－05

国家自然科学基金项目（50909088；51010009）；国家高技术研究发展计划项目（2008AA092701）；教育部新世纪优秀人才支持计划项目（NCET－10－0762）资助

2011－06－23；

2011－10－12

王树青（1975－），男，教授。E－mail：shuqing＠ouc.edu.cn

责任编辑 陈呈超