余数一定要小于除数

　　前些日子，一位小学数学教师小陈特意找我讨论一个数学问题：在整数除法中，余数是否一定要小于除数？众所周知，余数小于除数是一条性质，我不觉得有什么必要再讨论。小陈见我不解，就解释说：“在纯数学中，这个命题无疑正确，我是怀疑它在现实生活中的正确性。”我说：“数学源于生活，数学性质与生活中的事例应该不会有矛盾。”小陈递给我一张纸，上面写着一道题：“17个人去公园，打算租2条船游湖。但每条船只能乘坐6人，问还剩下几人不能乘船？”接下来是两道算式：
　　（1）17÷6＝2……5
　　（2）17÷2＝6……5
　　小陈说：“这道题可以用两种方法求解，结果相同：都是还剩下5人，但余数和除数的关系却不一样。⑴式中的余数是5，的确小于除数6，而⑵式中的余数5却大于除数2了。所以我认为，我们当教师的还不能把书教死，学生也不能把书读死。就像余数要小于除数这条性质，在数学中完全正确，但在现实生活中却未必正确。”
　　听了小陈的这番话，我心中不觉一惊，感到问题已涉及数学之根本，必须将是非辩明。许多数学问题都是从现实生活中抽象出来的，数学的抽象性决定了数学应用的广泛性，何以会在此处出纰漏？问题的症结究竟在哪里？我又该怎样来说服他？
　　思考片刻后，我理清了思路。我从案头拿出《小学数学教师手册》，翻开第34页，让小陈先复习一下有关概念和性质：
　　“如果正整数a除以正整数b，不能得到整数商，设a最多包含q个b，也就是说
　　bq＜a＜b（q＋1），
　　那么整数q叫做不完全商，a与bq的差叫做余数。
　　即，被除数=除数×不完全商＋余数。
　　或表示为a＝bq＋r （其中r＝a－bq）”
　　这种除法称为带余除法或有余数的除法。如19÷2＝9（余1）。显然，在带余除法中，有如下性质：
　　（1） 余数必须小于除数，即r＜b；
　　（2） 不完全商与余数都是唯一的。
　　等小陈看完这段文字后，我说：“数学概念的定义是严格的，不能似是而非，不能有歧义。你的⑴式17÷6＝2……5中的不完全商2与余数5是符合定义的，但⑵式17÷2＝6……5中的6就不能称为不完全商，5也不能称为余数了。道理很简单，因为17里面并非最多只包含6个2，而是最多包含8个2。在计算17÷2时，按照定义，不完全商应是8才对。算式应是：17÷2＝8……1。其中余数是1。显然并未违背余数小于除数这一性质。”
　　小陈说：“您说的是纯数学的式子，而这是生活情形，已限定每条船只坐6人，怎么能将6改成8呢？再说每条船坐8人，从安全性上考虑也欠妥呀！”
　　我笑着说：“我们是在讨论怎样算合理，又没真的让你安排每条船坐8人，扯不到安全性上去。数学有数学的规矩，一旦把生活中的问题抽象成了数学问题，就得按数学的规矩办，不能讨价还价。既然你把它抽象为除法问题，那只能列出17÷2＝8……1来，如果列成17÷2＝6……5，不仅违反了余数小于除数的性质，也不符合试商的法则。”
　　听我这样说，小陈也觉得有理：“看来，是我在抽象时出了错，不该把这道生活中的问题抽象为除法问题来做。”
　　见小陈的认识已触及问题的本质，我又趁势作点补充：“这话就说到点子上了。你想，如果我们把这个乘船问题抽象成一个有余数的除法问题，就一定得按有余数的除法问题的运算法则算，17÷2按试商法则，不完全商只能是8，无论如何也不会是6。你之所以会写6，是因为乘船问题中有每条船只能乘坐6人的条件。在这里，正是这个固定的条件和试商法则形成了矛盾。”
　　小陈一面点头一面又问：“那为什么我的第⑴式又没错呢？”
　　我说：“让我们来看看你的第（1）式：17÷6＝2……5。式中的不完全商2也是这个乘船问题中的已知条件——打算租2条船。只不过与17÷6试商的结果碰巧一样罢了。如果数据变了，矛盾就可能凸显。譬如，把题中的17人改为19人，其他条件不变，按你原来的思路，就应列出19÷6＝2……7。这时的余数7就比除数6大了呀！此时，相应的第（2）式为19÷2＝6……7。余数7大于除数2，也不对，所以两式都是错的。”
　　发现小陈脸上的疑云尽褪，我觉得这次讨论差不多可以结束了。就对他说：“在这道乘船问题中，既然船的条数和每条船限乘的人数均已固定，就不该用除法来解答。其实，这是一道两步应用题，综合算式为17－6×2，计算结果为5，表明还剩下5人不能乘船。多么简单！”
　　小陈表示完全同意我的意见，并向我透露了一个小秘密：“我本打算以本题为例，撰写一篇文章，说明数学结论有时会与现实生活中的问题矛盾。标题都拟好了，就叫做《在生活实际中，余数可以不小于除数》。好在向老师请教了一下，否则脸可丢大了。真如古人所说，听君一席话，胜读十年书啊！”
　　我紧握着小陈的手说：“问题不辩不明，你能发现问题并积极地思考问题，表现了青年人奋发进取的精神，值得大家学习。其实我也要感谢你，是你提供了一个研究的课题，逼我去思考，去研究。通过这次讨论，我对有关问题的理解也更深刻了。”
　　听我这样说，小陈可高兴了：“既然老师不烦我，那以后遇有疑难问题，我就还要来麻烦老师哟！”
　　“欢迎再次光临！”我一面说，一面把小陈送到了门外。