高等数学中反例教学研究①

王 涛 于艳华

(华北科技学院基础部，北京东燕郊 101601)

高等数学中反例教学研究①

王 涛1②于艳华

(华北科技学院基础部，北京东燕郊 101601)

本文对高等数学中的反例进行了探讨和研究，论述了反例的类型及构造，给出了高等数学中一些典型的反例，并进行了详细的分析，说明了反例在高等数学教学中的重要作用以及应注意的一些问题。

高等数学;数学研究;反例

高等数学是本科工程类各专业必修的重要的公共基础理论课之一，通过该课程的学习，要求学生系统地获得:一元函数微积分学;常微分方程;多元函数微积分学;无穷级数等方面的基本知识和基本运算技能，为学习后续课程奠定必要的数学基础。在学习过程中逐步培养学生抽象与概括问题的能力，逻辑推理能力，空间想象能力以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。

数学中的反例是指符合某个命题的条件，但又与该命题结论相矛盾的例子，也即指出某命题不成立的例子。在数学的发展史中，反例在数学的发展过程中有着重要的地位和作用，大到能推动一个学科的发展或否定上百年的猜想，例如:毕达哥拉斯学派证明了勾股定理的同时，也得到了一些直角三角形的三边比不能用整数来表达，也就是勾长或股长与弦长是不可通约的。这样一来，就否定了毕达哥拉斯学派的信条:宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。不可通约性的发现引起第一次数学危机，直接导致了欧几里得的《几何原本》的产生。小至能够准确理解一个定义和概念。

教育部于2003年制定的《数学课程标准》中指出:“人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号标示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。”反思过程是数学辩证逻辑思维能力的一种具体体现。而反例是锻炼反思能力的最好形势之一。

在传统的高等数学教学中，往往注重基本概念、定义的讲解、定理的证明、公式的推导及典型例题的计算，而忽视高等数学中反例的教学研究与应用，造成多数学生虽能熟练地计算高等数学的习题，了解一些定理形式上的证明，却不能清楚弱化定理条件，造成命题错误的根本原因。

下面我们对高等数学中反例的类型及实例进行探讨，给出高等数学中一些典型的反例，并进行教学分析。说明反例在高等数学教学中的重要地位和作用。

1 高等数学中反例的类型及实例

1.1 由定义产生的反例

概念是数学学科的细胞，是反映事物本质的思维形式。在逻辑学中，定义是明确概念内涵的逻辑方法。在数学问题中，若首先给出一个概念的定义，然后判断一个猜想是否正确，反例的获得常常需要从定义入手。

容易知道，an是无界变量，但当n→∞时，an不是无穷大量。例1说明无界变量和无穷大量有着本质区别。

1.2 由逆命题产生的反例

高等数学中的一些命题的条件和结论有着紧密联系，却是非等价的。其逆命题往往不成立。

命题:数列收敛必有界，逆命题:有界数列必收敛。

例2 数列{an}:-1，1，-1，1，…，(-1)n，…有界，但不收敛。

命题:可导一定连续，逆命题:连续一定可导。

1.3 弱化定理条件产生的反例

例4(罗尔定理)如果函数f(x)满足

(1)在闭区间［a，b］上连续;(2)在开区间(a，b)内可导;(3)在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a，b)内至少存在一点 ξ，使得 f'(ξ)=0。

A.函数f(x)满足条件(2)(3)，但不满足条件(1)。

B.函数f(x)满足条件(1)(3)，但不满足条件(2)。

C.函数f(x)满足条件(1)(2)，但不满足条件(3)。

例4.3 设 f(x)=x，0 ≤x≤1，则函数 f(x)在闭区间［0，1］上连续;在开区间(0，1)内可导;在区间端点处函数值不相等，而当 x∈(0，1)时，f'(x)=1≠0。

例4.1-4.3说明罗尔定理中的三个条件缺一不可。

1.4 有限和无穷相互转变产生的反例

有限个无穷小量之和(积)是无穷小量。但对于无限个无穷小量之和(积)可以不是无穷小量。

2 反例研究在高等数学教学中的作用

2.1 准确理解定义和概念

定义和概念在高等数学中占有重要的地位，它是进行逻辑推理的基础.但学生在初学高等数学时，常常重视定理、公式的应用和解题方法的训练，而对定义没有给予足够的重视.使用这种学习方法学习高等数学，将会产生概念不清或死记硬背定义而不能真正掌握概念的内涵等情况.使得学生在做和定义、概念相关的选择题和判断题目时，常常出现错误。例如在学生开始学数列极限的定义时，常常对极限的定义不清楚，认为极限中ε-N语言是形式的而非本质的，错误地认为极限定义中的“所有”改为“无穷多个”等价，描述性语言中的“无限接近”与“逐渐接近”是等价的。还有些学生混淆无界变量和无穷大量的定义。在教学中我们可以通过本文中例1来解决这些问题。

通过构造恰当的反例，可以从反面消除一些容易出现的模糊认识，有助于学生严格区分那些相近易混的概念，认清概念的本质。

2.2 正确掌握定理和命题

定理在高等数学中的有着举足轻重的作用.由于高等数学中的定理众多，大多数定理不易找出几何或物理模型，学生要正确掌握定理有一定的难度.反例可以帮助学生明确定理的正确使用范围。在命题学习中，用生动的反例驳斥错误的命题是非常简洁、有效的。更重要的是，反例可用来说明命题的使用范围。这对初学者来说是非常有益的，不仅能澄清一些错误的认识，还能促使学生养成严密推理、重视条件的习惯，避免发生“简单”却“致命”的错误。

掌握反例可以加强对定理条件的正确理解，例如若掌握了我们给出的例4.1-4.3就可清楚的知道罗尔定理的条件缺一不可。掌握反例还可以加强对定理和命题内涵的正确理解。

2.3 正确理解有限与无限的区别

从哲学上讲，有限和无限是物质世界存在的客观矛盾，是物质的运动在时间和空间上表现出来的的辩证联系，有限和无限的关系是辩证的，是对立统一的。其具体表现为，无限由有限构成，无限不能脱离有限而独立存在，有限也包含无限，有限体现着无限。

学习高等数学，需要掌握有限与无限的联系与区别.首先要学会使用运动的观点，通过有限认识无限;其次要明确有限与无限本质上的区别和联系.对这两个问题，多数教材没有在理论上给出详细的论述，加上学生受中学思维定势(有限条件下)的影响，不注意有限与无限的区别，常常误认为在“有限”的条件下成立的命题在“无限”的条件下也同样成立.我们可以通过反例帮助学生纠正这种错误观念.例如我们在自然数集N={0，1，2，…}和其真子集 M={0，2，4，…}可以建立一一映射f:x↔2x，而在有限集上不可能和其真子集建立一一映射。有限个无穷小量之和(积)是无穷小量，而通过反例2，可以让学生清楚地看到把命题中的“有限”改成“无限”是错误的。

2.4 反例有助于提高学生的数学素养

数学由证明和反驳两大类组成，数学的发展也是朝着提出证明和构造反例这两个主要目标前进的。构造反例具有一定的技巧性。它不仅与基础知识的掌握程度有关，还涉及思维的发散程度，知识面的宽窄等。反例的构造过程是一项积极的、具有创造性的思维活动，是一个探索发现的过程。重视和体验这样的过程，不仅能拓宽思路，活跃思维，激发学生的求知欲，培养学生思维的严密性，提高自学能力，也能提高学生分析问题、解决问题的能力，有助于学生克服思维定式，提高其思维能力和数学素养。

3 反例教学中要注意的问题

在现有的高等数学中反例五花八门，层次高低不同。作为高校教师，掌握以下两个类型的反例是必要的。一类是构造起来较困难，课堂上基本不用，但课下少数有兴趣的学生可能涉及，属教师应用型。另一类是构造起来简单易行，却能很好说明问题，属课堂教学应用型，如为了说明连续不一定可导，我们常用本文列举的反例3。在高等数学教学中应用反例来说明问题，首先要注意反例的选取，选择的反例要简单易行，若选取较艰涩的反例，会适得其反，造成学生更多的困惑。其次，在教学中要通过创设问题的情境，启发学生兴趣，鼓励学生自己构造反例，从而达到教学目的。

［1］ 杜春雨.高等数学中反例的研究［J］.高等数学研究.2008，11(5):26-27

［2］ 唐敏.反例在高等数学中的作用［J］.西南民族学院学报(自然科学版)，1997，11(4):461-464

［3］ 丁秀梅.反例在高等数学教学中的作用初探［J］.江苏经贸职业技术学院学报，2004，(1)

［4］ 朱勇等.高等数学中的反例［M］.武汉:华中工业出版社，1998

［5］ 同济大学数学系.高等数学(第六版)［M］.北京:高等教育出版社，2007

Study on contrary cases in higher mathematics

WANG Tao，YU Yanhua

(Department of Basic Course，North China Institute of Science and Technology，Yanjiao Beijing-East101601)

This paper holds an exploration on contrary cases in higher mathematics by focusing on the types and conformation.It also gives some typical contrary cases in higher mathematics studying and makes detailed analysis in them，demonstrating the important functions of contrary cases in higher mathematics and some problems worth paying attention to.

higher mathematics;mathematics research;contrary cases

G40-034

A

1672-7169(2011)03-0095-03

2011-06-03。基金项目:华北科技学院教育科学研究资助项目(Jkzd11-17)。

王涛(1972-)男，河北迁安人，硕士，华北科技学院基础部副教授，研究方向:图论。