三阶奇异常微分方程超定边值问题

李兆兴，郭 爽，刘国清，赵 微

（大庆师范学院数学科学学院，黑龙江 大庆 163712）

三阶奇异常微分方程超定边值问题

李兆兴，郭 爽，刘国清，赵 微

（大庆师范学院数学科学学院，黑龙江 大庆 163712）

研究了三阶奇异常微分方程超定边值问题解的存在性，通过将边值问题转化为与它等价的初值问题，应用不动点定理得到了解的存在性，推广和改进了已有的结果，并给出一个显解.

微分方程；奇异；超定边值问题

0 引言

在文献［1］中，作者研究了如下形式的超定三阶边值问题：

其中：f（y）＝（1－y）λg（y），λ＞0是给定常数，g（y）∈C（0，1］是连续的不增函数.给出解的存在性.

一般来讲，超定三阶边值问题出现在滴水和流淌问题研究中，f（y）在y＝0是奇异的.文献［2］给出不同情形，其中最简单和最重要的情形是f（y）＝（1－y）y－3.详见参考文献［2-4］.

在本文中，假设下列条件成立：

（H）f（t）＝（1－t）λg（t），t∈（0，1）且f（t）≡0，t∈［1，＋∞），λ＞－1／2是给定的常数，g（t）是定义在（0，1）上的可测函数，存在不增函数θ（t）∈C1（0，1］，对t∈（0，1），满足0＜θ（1）≤g（t）≤θ（t）.

假设（H）允许但不要求g（t）在t＝0处有奇性.例如函数g（t）＝exp｛t－b｝，b＞0，满足（H）.我们将证明，若（H）成立，则问题（1）的解存在.

如果函数y（x）∈C［0，＋∞）∩C2（0，＋∞）满足：

则称其为超定边值问题（1）的解.

为研究边值问题（1），考虑与（1）等价的初值问题.设y（x）是超定三阶边值问题（1）的解，且对x＞0，y′（x）＞0，则y（x）有定义在［0，1）上的反函数σ（t），且σ（0）＝0.设

这表明边值问题（1）可以形式地转换成（2）.事实上，能够证明超定边值问题（1）与（2）是等价的.

1 奇异初值问题

这表明，对任意给定的ε∈（0，1），Φ＊（X）∩C［ε，1］是C［ε，1］的紧子集.由Schauder不动点定理，可得映射Φ＊在C［ε，1］内至少有一个不动定点.由ε的任意性可知，在X内有一个不动点.

设w（t）是Φ＊在X内的不动点，由Φ和Φ＊的定义，据（7）式可得函数

是（2）的一个正解，且（3）式成立.定理1证毕.

定理2的证明当g（t）≡1时，取θ（t）≡1，由（3）式即得.

2 超定边值问题

首先，引入下列定义：

定义1 设u（t）∈C［0，1）严格递增，u（0）＝0，u（1－0）＝＋∞，则x＝u（t）有反函数t＝η（x）∈C［0，＋∞），η（0）＝0，η（＋∞）＝1，称η（x）为u（t）的反函数.

定义2设u（t）∈C［0，1］严格递增，u（0）＝0，u（1）＝0，则x＝u（t）有反函数t＝η（x）∈C［0，b］，η（0）＝0，η（b）＝1，对x≥b定义η（x）≡1.则η（x）在［0，＋∞）上连续，称其为u（t）的广义反函数.

设w（t）是初值问题（2）的一个正解，由w（t）的定义和定理1，可得

因为y（0）＝0，y（＋∞）＝1，表明y（x）∈C［0，＋∞）∩C2（0，＋∞）是问题（1）的解.

只要λ＞0，g（t）在（0，1）上连续，显然y‴（x）∈C（0，＋∞）.

根据ξ（x）的定义，由（1）和（6）式可得ξ（x）.当g（t）≡1时，取θ（t）≡1.由（8）—（10）式，可知函数ξ（x）显然是问题（1）的解.

概括上述结果，得到下面两个定理.

［1］ WANG J，ZHANG Z.A boundary value problem from draining and coating flows involving a third-order ordinary differential equation［J］.ZAMP，1998，49：506-513.

［2］ TUCK E O，SCHWARTZ L W.Anumerical and asymptotic study of some third-order ordinary differential equations relevant to draining and some coating flows［J］.SIAM Rev，1990，32：453-469.

［3］ BERNIS F，PELETIER L A.Two problems from draining flows involving third-order ordinary differential equations［J］.SIAM J Math Anal，1996，27：515-527.

［4］ TROY W C.Solutions of third-order differential equations relevant to draining and coating flows［J］.SIAM J Math Anal，1993，24：155-171.

Overdetermined boundary value problems for third-order singular ordinary differential equations on（0，∞）

LI Zhao-xing，Guo Shuang，LIU Guo-qing，ZHAO Wei

（College of Mathematics，Daqing Normal University，Daqing 163712，China）

The existence of a solution is discussed in this paper third-th order singular nonlinear ordinary differential equation with overdetermined boundary conditions.In the way that the boundary problem is formally converted into initial value problem that is equivaleut to it，and the fixed point theorem is used，the problem is solved.

differential equation；singular；overdetermined boundary value problems

O 175

110·44

A

1000-1832（2011）03-0019-04

2010-12-10

黑龙江省自然科学基金资助项目（A200813）.

李兆兴（1953—），男，教授，主要从事微分方程边值问题研究.

陶 理）