射影几何的应用分析

孙 珍

(安康学院数学系,陕西安康 725000)

射影几何的应用分析

孙 珍

(安康学院数学系,陕西安康 725000)

阐述射影几何学有关定理和结论,探讨了射影几何中仿射变换、交比、调和分割在解决平面几何问题中的应用,以及利用透视对应完成几何作图的应用.

射影几何;仿射变换;交比;调和分割;透视对应

0 引言

射影几何所处理的是构成几何图形的最根本的定性方面和描述方面的性质,而且不用线段与角的度量.在经典几何中,射影几何处于一种特殊的地位,通过它可以把一些几何联系起来.欧式几何是射影几何的子几何.

1 相关定义与定理[1]

定义1经过一切透视仿射不改变的性质和数量,称为仿射不变性和仿射不变量.

定义2一线束中4直线被任一直线(不通过线束中心或顶点)所截4点的交比,称为4直线的交比,记为(ab,cd)=AC· BD/(AD·BC).

定义5若(AB,CD)=-1,称C,D两点调和分割线段AB.

定理1两个一维基本图形形成射影对应的充分必要条件为对应元素的交比相等.

定理2透视仿射保留同素性和结合性.

定理34直线a,b,c=a+λ1b,d=a+λ2b的交比为(ab,cd)=λ1/λ2.

2 射影几何在解决平面几何问题中的应用

2.1 仿射变换在解决平面几何问题中的应用

由仿射不变性和仿射不变量,以及仿射变换保留同素性、结合性等性质,从一些图形之间的仿射变换关系入手,巧妙利用从特殊到一般的数学思想解决有关问题,使平面几何中的一些问题化难为易,化繁为简.

例1 如图1,从椭圆E外一点P做切线PA、PB,A、B表示切点,O是E的中心,射线OP交E于点C.证明面积SAOC=SCOB,SAOP=SPOB.

分析 椭圆可以看做圆的仿射变换得到的仿射像.

图1 仿射变换的应用Fig.1 Application of affine transformation

2.2 线束的交比在解决直线共点问题中的应用

在射影几何学中,交比是射影不变量,是两个一维基本图形形成射影对应的判定法则之一,它在整个射影几何中处于十分重要的地位,能给我们解题提供帮助[2].

例2 证明4直线2x-y+1=0,3x+y-2=0,7x-y=0,5x-1=0共点.

2.3 调和分割在解决角平分线(以及线段中点)问题中的应用

有关角平分线的问题,是中学几何常见的问题[3-4].三角形中一个角的内角和外角平分线,将对边分成两线段的比值都和邻边成比例,与射影几何中的调和分割密切联系.

例3 已知:如图2所示,三角形ABC中,AD垂直BC于点D,E为AC边上一动点,连接BE交AD于点O,连接CO交AB于点F.求证:∠FDO=∠EDO.

证明延长DE交BA于点P,DE交CF于点Q.由B(AQ,EC)=(FQ,OC)=(PQ,ED)和A(PQ,CD)=(PQ,ED)=(FQ, CO)得

由交比的性质(FQ,CO)=1/(FQ,OC),所以(FQ,CO)=1或-1,1舍去.所以(FQ,CO)=-1,即点O和点C调和分割线段FQ,由角平分线的性质,所以∠FDO=∠EDO.

2.4 透视对应在几何作图中的应用

两个点列和同一个线束成透视对应,这两个点列就成透视对应.这个透视对应是一个特殊的射影对应,满足交比不变.

例4 已知直线上3点A,B,C,求作第4点,使AC·BD=AD·BC.

解 过C点任作一直线,在其上任取一点A1,并在其上作出一点B1,使有向线段之比CA1∶CB1=∶1.以S表示AA与BB1的交点,过S作A1B1的平行线交AB于所求点D.

图2 调和分割的应用Fig.2 Application of harmon ic division

证明设直线AA上的无穷远点为D∞,于是从而

3 小结

能用射影几何解决的平面几何问题很多,例如射影坐标系的建立,在处理一些复杂射影命题时不需要太多技巧,给思考问题带来方便;德萨格定理以及完全四点形等有关知识对于解决共线共点问题提供有效途径,这里不再一一列举.可以看出,该方法的解题思路较为开阔和灵活.

[1] 朱德祥.高等几何[M].北京:高等教育出版社,2001.

[2] 梅向明.高等几何[M].北京:高等教育出版社,2000.

[3] 李长明.初等数学研究[M].北京:高等教育出版社,1995.

[4] 赵振威.初等几何研究[M].上海:华东师范大学出版社,2005.

Analysis on Application of Projective Geometry

SUN Zhen

(Depar tm ent of M athem atics,Ankang University,Ankang725000,China)

Expounds relative theorems and conclusions of projective geometry,discusses the application of affine transfo rmation,ratio and harmonic division on solving plain geometry problems aswell as the application of geometry drawing by perspective corresponding.

projective geometry;affine transformation;ratio;ha rmonic division;perspective corresponding

O185.1

A

1007-0834(2011)01-0012-02

10.3969/j.issn/1007-0834.2011.01.005

2010-10-28

安康学院重点扶持学科“基础数学”(AZXZ0107);安康学院重点项目(2008AKXY029)

孙 珍(1977—),女,山东齐河人,安康学院数学系教师.