单值函数奇点的类型判定

史小波,王显军

(河南教育学院物理系,河南郑州 450046)

单值函数奇点的类型判定

史小波,王显军

(河南教育学院物理系,河南郑州 450046)

通过对单值函数奇点的定义分类,对孤立奇点进行深层次的解析,介绍了孤立奇点进一步分类的方法,给出应用该方法判定奇点类型的实例.

奇点;孤立奇点;m阶极点;单值函数;类型;判定

奇点的定义:如果f(z)在z0点不解析,则z0称为f(z)的奇点[1].此处的“不解析”包括3个方面:①函数f(z)在z0点无定义;②函数f(z)在z0点有定义,但是在z0点不可微;③函数f(z)在z0点可微,但是不解析.满足这3方面中的任意一种,都可判定点z0是函数f(z)的奇点.奇点按定义可分为两大类:孤立奇点和非孤立奇点.第一类:若函数f(z)在z=a不解析(不可微或无定义),而在z=a的某无心邻域0<|z-a|<ε内解析,则称z=a是f(z)的一个(单值性)孤立奇点.第二类:如果在z=a的无论多么小的邻域内,总有除z=a以外的奇点,则z=a是f(z)的非孤立奇点[1].举例说明如下.

非孤立奇点一旦确定,就不用再细分.对于孤立奇点,又可以分为以下3种类型:可去奇点,m阶极点,本性奇点.

孤立奇点可以是扩充平面(包含复平面和z=∞点)上的任一点,判定孤立奇点的类型时需要对复平面上的点和z=∞点这2部分分开进行讨论.

第一部分,在复平面上的孤立奇点,其类型判定方法如下.

(1)函数f(z)在a点没有主要部分,称点a为函数f(z)的可去奇点;

(2)函数f(z)在a点的主要部分为有限m项,称点a为函数f(z)的m阶极点;

(3)函数f(z)在a点的主要部分为无限多项,称点a为函数f(z)的本性奇点,如例2所示.

方法2无法判定极点的阶数.若判定该奇点为极点,则需进一步求出极点的阶数值m.可最终判定点a为函数m阶极点.极点阶数值m的求法有2种.

[1] 四川大学数学系.数学物理方法[M].北京:高等教育出版社,2005.

[2] 华中科技大学数学系.复变函数与积分变换[M].北京:高等教育出版社,2003.

[3] 西安交通大学高等数学教研室.复变函数[M].北京:高等教育出版社,1996.

[4] 华中科技大学数学系.复变函数与积分变换学习辅导与习题全解[M].2版.北京:高等教育出版社,2008.

Judgment on Singularity Type of Single Value Function

SH IXiao-bo,WANG Xian-jun

(Departm ent of Physics,Henan Institute of Education,Zhengzhou450046,China)

By classification of singularity of single value function,analyzed isolated singularity deeply,introduced the method to further classify isolated singularity and put forward samples of judgment on singularity type by the method.

singularity;isolated singularity;morder pole;single value function;type;judgment

O174.5

A

1007-0834(2011)01-0010-02

10.3969/j.issn/1007-0834.2011.01.004

2010-11-02

河南省教育厅自然科学基金(2009A140003)

史小波(1982—),女,南阳镇平人,河南教育学院物理系教师.