关于Smarandache指数函数ep(n)与除数和函数σt(n)的混合均值

屈芝莲

(宝鸡职业技术学院基础部，陕西宝鸡 721013)

关于Smarandache指数函数ep(n)与除数和函数σt(n)的混合均值

屈芝莲

(宝鸡职业技术学院基础部，陕西宝鸡 721013)

利用初等方法研究了ep(n)与除数和函数σt(n)的混合均值，得到了ep(n)σt(n)的渐近公式.

Smarandache指数函数;均值;渐近公式

对于任意给定的素数p及正整数n，Smarandache指数函数ep(n)定义为最大的正整数α使得pα整除n，即

著名数论学家Smarandache F教授在文献［1］的第68个问题中要求研究数列{ep(n)}的性质，关于这个问题文献［2－5］已作了初步的研究，得到了如下的渐近公式

当t=1时，

1 引理及证明

设p为给定的素数，ζ(s)为Riemann Zeta-函数.为了完成定理1的证明，需要下列引理

引理1对任意的实数x≥1及给定的整数t≥1，有渐近公式

当t＞1时，

引理1得证.

引理2［3］设α为任意的正整数，p为给定的素数，那么对任意的实数x≥1，有渐近公式

引理3设α为任意的正整数，p为给定的素数，那么对任意的实数x≥1及给定的整数t≥1，有渐近公式

引理3得证.

2 定理的证明

由ep(n)的定义及引理1、引理2和引理3，有

当t＞1时，

当t=1时，

即定理得证.

［1］F SMARANDACHE.Only problems not solutions［M］.Chicago:Xiquan Publishing House，1993.

［2］LV Chuan.A number theoretic function and its mean value:proceeding of Research on Smarandache Preoblems in Number Theory，Xi’an，February 11 －14，2004［C］.USA:Hexis，2004:33 －35.

［3］LV Chuan.On the mean value of an arithmetical function:proceeding of Research on Smarandache Preoblems in Number Theory，Xi’an，February 11 －14，2004［C］.USA:Hexis，2004:89 －92.

［4］祁兰，赵院娥.关于一个算术函数的混合均值［J］.哈尔滨师范大学学报:自然科学版，2005，21(5):8－9.

［5］WANG Xiao-ying.On the mean value of an arithmetical function:proceeding of Research on Smarandache Preoblems in Number Theory，Xi’an，February 11 －14，2004［C］.USA:Hexis，2004:77 －79.

［6］PAN Xiao-wei，ZHANG Pei.An identity involving the function ep(n)［J］.Scientia Magna，2007，3(3):26 －29.

［7］潘承洞，潘承彪.解析数论基础［M］.北京:科学出版社，1999.

Hybrid Mean Value of the Smarandache Exponent Function ep(n)and the Function σt(n)

QV Zhi-lian

(Department of Basic Theory，Baoji Vocational and Technical College，Baoji 721013，China)

In the report，the elementary methods were used to analysis the hybrid mean value of ep(n)and the function σt(n)，two asymptotic formulas ofep(n)σt(n)were obtained.

Smarandache exponent function;mean value;asymptotic formula

O 156.4 < class="emphasis_bold">文献标志码:A

A

1004－1729(2011)01－0004－04

2010－10－13

屈芝莲(1958－)，女，陕西扶风人，宝鸡职业技术学院副教授.