时滞中立型线性系统的时滞相关非脆弱控制器设计

刘美静，马跃超

(燕山大学 理学院 河北 秦皇岛 066004)

时滞中立型线性系统的时滞相关非脆弱控制器设计

刘美静，马跃超

(燕山大学 理学院 河北 秦皇岛 066004)

研究了时滞中立型线性系统的时滞相关非脆弱控制器设计问题,分别对非脆弱控制器的乘性与加性加以讨论.通过构造适当的Lyapunov泛函，利用Schur补引理和最近提出的积分不等式，得到了时滞相关非脆弱控制器的设计方法.利用matlab中的线性矩阵不等式工具箱进行求解，数值仿真说明了该设计方法的有效性.

中立型系统； Lyapunov泛函； 线性矩阵不等式； 非脆弱控制

0 引言

中立型系统不仅广泛存在于工程实际中，而且许多实际系统可以转化为中立型系统来研究，因此，中立型时滞系统的鲁棒控制问题受到了学者的广泛关注[1-3].文献[2]研究了一类不确定中立型时滞系统的状态反馈鲁棒控制问题；文献[3]研究了具有时变不确定性的中立型系统的鲁棒镇定问题.由于仪器精度不足和舍入误差等因素，在控制器本身实现过程中，控制器参数会发生变化，这将破坏闭环系统的稳定性，使其性能下降，即控制器本身是脆弱的.因此，关于非脆弱控制器的设计问题引起了国内外学者的极大兴趣[4-7].文献[4]首次提出了非脆弱控制器的思想；文献[7]研究了中立型系统的基于观测器的非脆弱H∞控制问题.

本文在文献[5-7]基础之上，针对一类不确定中立型时滞系统，讨论了时滞中立型线性系统的时滞相关非脆弱控制器设计问题.利用Schur补引理和最近提出的积分不等式，给出了不确定中立型时滞系统的鲁棒H∞控制器的设计方法.利用matlab 的线性矩阵不等式(LMI)工具箱求解非常方便.本文所考虑的系统状态含有时滞，中立导数项含有不确定性，从而使本文所取得的结果适用范围更广一些.

1 问题描述

考虑不确定系统

(1)

式中，x(t)∈Rn,w(t)∈Rq,u(t)∈Rm,z(t)∈Rp分别为系统的状态，扰动输入，控制输入及受控输出，且w(t)∈L2[0,∞),φ(t)为[-h,0]上的连续可微初始函数,h=Const.>0为系统状态时滞.系数矩阵A0,A1,B1,B2,L0,D1,D2,C为具有适当维数的常数实矩阵,ΔA0,ΔA1,ΔB1,ΔL0,ΔL1,ΔD1,ΔC为时变参数不确定性，假设具有形式

(2)

式中，H1,H2,E0,E1,E2,E3有适当维数的常数实矩阵，F(t)为时变未知实矩阵，满足F(t)TF(t)≤I.

考虑非脆弱控制器

u(t)=(K+ΔK)x(t),

(3)

式中，K为控制器增益,ΔK为扰动矩阵，属于下列两种情形之一：

情形1(乘性不确定性) ΔK依赖于控制器增益K，满足

ΔK=HaFa(t)EaK；

(4)

情形2(加性不确定性) ΔK不依赖于控制器增益K，满足ΔK=HbFb(t)Eb.

系统(1)在非脆弱控制器(3)的作用下导出闭环系统(5)，t∈[-h,0],

(5)

本文设计如(3)的非脆弱控制器，使得(5)内部稳定，且在零初始条件下具有给定的H∞扰动抑制水平γ，即满足‖z(t)‖2<γ‖w(t)‖2,∀0≠w(t)∈L2[0,∞).

(6)

引理2[9]给定矩阵Σ=ΣT，以及适当维数的矩阵H，E，则Σ+HFE+ETFTHT<0.对任意满足FTF≤I的F成立的充要条件是存在ε>0，使得Σ+ε-1HHT+εETE<0.

2 主要结果

2.1时滞相关有界实条件

引理3给定γ>0并假设‖C‖+‖H1‖‖E3‖<1.如果存在n×n实矩阵P>0，R>0，Q1>0，Q2>0及M1，M2，Z1，Z2，Z3使得矩阵不等式(7)成立，

(7)

其中,

(8)

则系统(1)在非脆弱控制器(3)的作用下不仅渐近稳定，且在零初始条件下具有给定的H∞扰动抑制水平γ.

证明取Lyapunov-Krasovskii泛函

对V(t,xt)沿闭环系统(5)的轨线求导数，得到

(9)

由Lyapunov-Krasovskii稳定性定理知(5)内部渐近稳定.

2.2情形1的非脆弱H∞控制器设计

(10)

(11)

其中，

(12)

证明将不确定性矩阵(2)及(4)带入矩阵不等式(7)，则(7)成为

(13)

其中，

两次应用引理2有,

(14)

由Schur补引理，不等式(14)等价于

(15)

下面分两步证明结论.首先，不等式(10)等价于式(15)，由于(14)与(15)等价，(14)成立就有(13)成立，即(7)成立；其次，若不等式(11)成立，就有不等式(8)亦真.

2.3情形2的非脆弱H∞控制器设计

对于情形2，类似于定理1 的证明，可得定理2.

(16)

说明定理1和定理2分别针对情形1和情形2给出了非脆弱H∞控制器的设计方法，只要给定定理的LMIs有解，就可以找到形如(3)的非脆弱控制器，这就是设计非脆弱控制器的过程.此外，G和P-1也都可以通过给定的LMIs来求解.

3 数值仿真

当h=0.8时，情形1和情形2两种情况所获得的非脆弱控制器增益矩阵K分别为：

4 结束语

本文研究了一类不确定中立型系统的时滞相关非脆弱控制问题.针对非脆弱控制器的乘性与加性两种不确定形式，利用Lyapunov-Krasovskii泛函方法、Schur补引理和最近提出的积分不等式，给出了非脆弱控制器的设计方法.

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Delay-dependentNon-fragileControllerDesignforTimeDelayNeutralLinearSystems

LIU Mei-jing, MA Yue-chao

(CollegeofScience,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004，China)

The problem of the delay-dependent non-fragile controller design for time delay neutral linear systems was studied.Both cases of non-fragile controller for multiplicative and additive were considered. By constructing appropriate Lyapunov functional, using Schur theory and the recently proposed integral inequality, the design method of non-fragile controller was obtained. By using the LMI of matlab, an illustrative example showed the effectiveness of the proposed method.

neutral systems; Lyapunov functional; linear matrix inequality(LMI); uncertainly; non-fragile control

TP 273

A

1671-6841(2011)03-0053-06

2010-04-07

国家自然科学基金资助项目，编号60974004.

刘美静(1984-)，女，硕士研究生，主要从事广义中立型系统研究，E-mail:liumeijing0315@126.com.