一道解析几何题引发的思考

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(应城市第一中学 湖北应城 432400) (应城市第三中学 湖北应城 432400)

一道解析几何题引发的思考

●陶治国●江斌

(应城市第一中学 湖北应城 432400) (应城市第三中学 湖北应城 432400)

(1)判断直线l与椭圆E交点的个数；

(2)直线l0过点P与直线l垂直，点M(-1，0)关于直线l0的对称点为N，直线PN恒过一定点G，求点G的坐标.

这是湖北省部分重点中学2011届高三第2次联考的一道解析几何试题.第(1)小题主要考查了直线与椭圆的位置关系问题;第(2)小题考查了点关于直线对称以及直线过定点问题.从参考答案来看计算量非常大，学生在单位时间内解出来的人数少之又少.那么命题者到底想考查什么？以下为命题者所给的参考答案：

解(1)由

消去y并整理得

从而

于是

故直线l与椭圆E只有一个交点.

(2)直线l0的方程为

x0(y-y0)=2y0(x-x0),

即

2y0x-x0y-x0y0=0.

设点M(-1，0)关于直线l0的对称点N的坐标为N(m,n),则

解得

从而直线PN的斜率为

因此直线PN的方程为

即

故直线PN恒过定点G(1,0).

1 笔者的思考

看到题目最常规的思路是:第(1)小题将直线方程和椭圆方程联立，然后利用判别式来判断它们的交点个数；第(2)小题利用对称性求出点N的坐标,然后利用两点式求出PN所在的直线方程，再判断直线过哪一个定点.按此方法计算量很大.以上解答为命题人所给的参考答案，非常复杂.笔者在讲解试卷之前，想到了如下的简单方法，仅供读者参考：

图1

x′2+y′2=1,

(2)方法1设l0与MN交于点R，先猜定点为G(1,0),再证∠MPR=∠GPR.不妨设y0>0，则

从而

于是

tan∠GPR=tan∠MPR,

即

∠GPR=∠MPR，

则点N在直线PG上,故直线PN恒过定点G(1,0).

方法2设l0与MN交于点R，先猜定点为G(1,0),再证PR平分∠MPG.由

得

从而

又l0的方向向量为(x0,2y0)，故PR平分∠MPG.

2 意外的收获

待解到此处时，本该结束了，但有学生提出问题：定点是怎样想到的？对于考生而言,这确实是个难点，这个问题涉及到阅读材料中的圆锥曲线的光学性质，首先补充一下圆锥曲线的光学性质.

椭圆从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点.

双曲线从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线交于双曲线的另一个焦点.

抛物线从焦点发出的光线，经过抛物线发射后，反射光线平行于抛物线的轴.

此题可以利用上面的光学性质猜测这个定点：如图1所示,因为M(-1，0)是椭圆的左焦点，由第(1)小题知l为椭圆的切线，即把MP看作是从椭圆的左焦点发出的一条光线，而点N是点M关于l0的对称点，则PN就是入射光线MP的反射光线，故反射光线PN必过另一个焦点(1,0).因此可以猜想直线PN恒过定点(1,0).

3 考题链接

图2

关于圆锥曲线光学性质的考查，笔者专门找了几道相关例题以飨读者：

例1已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，过抛物线上点P(x0,y0)的切线为l,过点P作平行于x轴的直线m,过焦点F作平行于l的直线交m于点M，则|PM|的长为

( )

解如图2,由抛物线的光学性质可知：∠1=∠2.又由

∠1=∠PFM,∠2=∠PMF,

得

∠PFM=∠PMF，

从而

PF=PM，

因此

( )

解法1如图3所示，直线y=x与椭圆的另一个交点为P′，连结P′F,P′F′,PF′.由圆锥曲线的光学性质可知：∠1=∠2.又因为

∠PMN=∠1,∠PNM=∠2,

所以

∠PMN=∠PNM且∠PMN=∠F′EN,

于是

∠PNM=∠F′EN,

从而

PM=PN,F′E=F′N=MF,

PF+PF′=PM+PN=2PM=2a,

即

PM=a,

故选B．

图3

图4

解法2如图4,过点O作OM∥l,F1A∥l,得

OM∥F1A.

由O为FF1的中点,可得

AM=MF,

又∠1=∠PAF1,∠2=∠PF1A,由椭圆的光学性质可知

∠1=∠2,

所以

∠PAF1=∠PF1A，

即PA=PF1.又由椭圆的定义知

PF+PF1=PA+AF+PA=2PA+2AM=

2PM=2a,

即

PM=a.

图5

解如图5所示，过点F1作F1A∥OB,O为F1F2中点且OB∥AF1，易知OB为△AF1F2中位线，于是AB=BF2.由双曲线的光学性质可知PF1=PA,因此

PA-PF2=PF1-PF=2a,

即

(PB+AB)-(BF2-BP)=2a,

从而

(AB-BF2)+2BP=2a,

得

BP=a,

故

PM=PB=a.