认识椭圆上的4个特殊点

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(杨浦区彰武路同济新村224号甲 上海 200092)

认识椭圆上的4个特殊点

●姜坤崇

(杨浦区彰武路同济新村224号甲 上海 200092)

图1

(1)S△PAB=S△PCD;

(2)|PA|·|PB|=|PC|·|PD|;

(3)∠APB=∠CPD.

(2)由题意可得

|PA|2·|PB|2=

同理可得

于是

|PA|2·|PB|2=|PC|2·|PD|2,

得

|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

(3)由第(1)，(2)小题的结论知

S△PAB=S△PCD,|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

又

得

sin∠APB=sin∠CPD,

从而

∠APB=∠CPD.

S△PEF=S△ACE+S△BDF.

又

得

S=S△PCD.

两边同减去梯形EFDC的面积即得

S△PEF=S△ACE+S△BDF.

图2

图3

又

于是

|PF1|·|PF2|=|PO|2,

即|PF1|,|PO|,|PF2|成等比数列.

性质4如图4，A是椭圆E在第一象限的一段弧上的动点，A在x轴、y轴上的射影分别为P,Q,则当点A运动到点P的位置时，矩形OPAQ(O为中心)的面积最大.

证明设A(x0,y0)(x0>0,y0>0)，矩形OPAQ的面积为S,则

由基本不等式得

图4

图5

性质5如图5，点A是椭圆E在第一象限的一段弧上的一点，B(a,0),C(0,b)是E的2个顶点，则当A在点P的位置时，四边形OBAC(O为中心)的面积最大.

证明设A(x0,y0)(x0>0,y0>0)，四边形OBAC的面积为S,则

连结AO，则

性质6如图6，设A(a,0),B(0,b)是椭圆E的2个顶点，E在P处的切线l与x轴、y轴的交点分别为C,D,则AB∥CD,|PC|=|PD|.

AB∥CD.

图6

图7

性质7如图7，A是椭圆E在第一象限的一段弧上的一点，椭圆E在点A处的切线l和x轴、y轴的交点分别为B,C,则当点A在点P的位置时，△BOC(O为中心)的面积最小.

证明设A(x0,y0)(x0>0,y0>0)，△BOC的面积为S,则

切线l的方程为

当且仅当bx0=ay0时等号成立,从而

于是