一类倒向随机微分方程解的比较定理

颜宝平

(铜仁学院数学与计算机科学系，中国 铜仁 554300 )

1 引言及主要结果

设(Ω,F,P)是一个完备的概率空间，{Wt}0≤t≤1为其上的d-维标准Brown运动，{Ft}0≤t≤1是{Wt}0≤t≤1的自然σ-代数流，即Ft=σ{N,σ(Ws;0≤s≤t)}，其中N为σ(Ws;0≤s≤t)的P-零测集全体，，用∏[T,1]表示定义在[T,1]×Ω上的Rn×Rn×d值Ft-适应过程(X,Y)的集合．在∏[T,1]上定义范数：

显然(∏[T,1],‖·‖)是一个Banach空间．文中用Ci表示不同的常数．

本文讨论了下列形式的BSDE：

(1)

在(∏[T,1],‖·‖)中解的比较定理．

彭实戈证明了方程(1)的系数满足Lipschitz条件时其解的比较定理[1]，曹志刚、严加安在1999年证明了方程(1)的系数在非Lipschitz条件下解的比较定理[2]；文[3]证明了方程(1)的系数在另一类非Lipschitz条件时其解的比较定理.

本文将证明在一类局部Lipschitz条件下BSDE(1)解的比较定理.

我们对f(s,x,y)的假定如下：

(H1)对几乎所有的(t,ω)，f(t,ω,x,y)关于(x,y)连续；

(H2)存在2个常数C>0和α∈[0,1]使

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|f(t,ω,x,y)|≤C(1+|x|α+|y|α)，P-a.s.,a.e.t∈[0,1].

(H3)对∀N>0，存在对应的常数CN，使得当|x1|

|f(t,x1,y1)-f(t,x2,y2)|2≤CNK(t,|x1-x2|2)+LN|y1-y2|2，

我们的主要结果是:

(2)

(3)

2 主要结果的证明

定理的证明

再由引理1有

由(H3)及Jensen不等式，有

取C1=LN，从而

由Gronwall不等式有

再由常微分方程比较定理，当t∈[T,1]时，有

在引理2的证明中我们可以知道BSDE(1)、(2)之间的解与解、系数与系数之间存在着如下关系：

因此文献[3]的定理1就是我们所给定理的特例.

参考文献：

[1] 严加安，彭实戈，方诗赞，等.随机分析选讲[M].北京：科学出版社，1997.

[2] CAO Z G, YAN J A. A comparison theorem for solutions of backward stochastic differential equations[J]. Adv Math, 1999,28(4):304-308.

[3] 孙信秀. 非Lipschitz条件的倒向随机微分方程解的比较定理[J]. 徐州师范大学学报：自然科学版, 2005,23(4):37-40.

[4] MAO X R. Adapted solutions of backward stochastic differential equations with non-lipschitz coefficients[J]. Stoch Proc Appl, 1995, 58(2): 281-292.

[5] 王 赢,王向荣. 一类非Lipschitz条件的Backward SDE适应解的存在唯一性[J]. 应用概率统计,2003,19(3):245-251.

[6] 冉启康. 一类非Lipschitz条件的BSDE适应解的存在唯一性[J]. 工程数学学报, 2006,23(2):286-292.