一种月球软着陆参考轨迹解析算法研究

丁书卷，张洪华

(1.北京控制工程研究所，北京100190;2.空间智能控制技术重点实验室，北京100190)

一种月球软着陆参考轨迹解析算法研究

丁书卷1，2，张洪华1，2

(1.北京控制工程研究所，北京100190;2.空间智能控制技术重点实验室，北京100190)

使用了高度和航向航程匹配求解推重比的算法，解决了一种无直接解析解的参考轨迹的求解问题.在数值仿真的基础上，简化了参考轨迹的求解，给出了推重比与高度和航向航程的关系，以及这些关系存在的原因.应用Monte Carlo仿真法对该方法求解的可行性进行了仿真验证，并基于一个类A-pollo的参考轨迹，验证了算法对参数分布引起的状态不定具有鲁棒性.

月球软着陆;参考轨迹;解析算法

制导是月球软着陆的一项关键技术，新的月球探测任务对其提出了燃耗性、实时性、自主性、鲁棒性(或自适应性)的要求［1］.根据不同的分类方法主要有:重力转弯制导，多项式制导，显式制导和隐式制导，解析制导和非解析解制导等;前两种方法曾分别应用在Surveyor探测器和Apollo载人登月中.

早期的重力转弯法［2-4］建立在月球平面模型或离月面较近的最终下降段的假设上，这些模型的共同点是向心力相对月球重力可以忽略.Mc Innes［5］在常推重比的假设下，得到了球面模型重力转弯法的一个解析解，解析解是关于航迹角的函数，并指出如果着陆的初始速度近似于环绕速度，解析解可近似为一个LambertW显函数.

Apollo登月舱采用的是显式的多项式制导方法［6］，同时它也是“二元制导”，因为其制导分为参考轨迹和实时制导两部分.由于其参考轨迹设计需要大量的迭代运算，所以很难满足实时性的要求.

文献［1］使用“打靶法”求解两点边值的最优问题，得到了一个燃耗次优的参考轨迹.Christina T.Chomel［7］在改进重力转弯法的基础上得到了一个参考轨迹的生成算法;该算法相对于Apollo使用的多项式制导物理意义明显，且无须迭代运算.其得到的参考轨迹是速率、时间、高度、航向航程和航迹角的函数，但是没有给出具体的求解算法，只给出了状态匹配的原则.

本文通过数值仿真优化了解空间，提出了一种求解方法:通过高度-航向航程误差函数最小获得匹配的解;并使用Monte Carlo法对该算法的可行性进行了仿真试验，同时对参数分布的不确定性影响进行了仿真分析.

1 问题描述

根据文献［7］参考轨迹的设计分为两段，对参考轨迹的求解可以表述为:已知着陆器的初始速率、终点速率、初始航迹角、终点航迹角、高度、航向航程，求解常推重比 p1和 p2及交接点处速率和航迹角的大小，其关系可以表示为式(1)～(4);然而通过求反函数的方法无法获得 p1、p2、v1和 θ1关于已知参数的解析表达式.

式(1)中:θ0为初始航迹角;θ1为交接处航迹角;θ2为末端航迹角;v0为初始速率;v2为末端速率;

式(2)中:

v1为交接处速率.

式(3)和式(4)中:

Δd为航向航程;Δh为高度.其中D和H:

2 问题求解

一种可行的方法［7］是p1、p2在其可能的范围内遍历，从中找出与已知状态最为匹配的推重比组合.由于无法证明各个状态变量关于推重比的单调性，因此在整个分布空间内求解得到的推重比组合可能不是唯一的，求得的结果也可能是不合理的.

输入参数选取按表1，得到高度和航向航程的分布如图1和图2所示.两图中的曲线明显分为两大部分，表明连续的推重比对应的高度和航向航程并不连续;高度和航向航程只有满足一定条件才有对应的推重比存在，这个范围就是推重比的解空间.

表1 参数参考的取值

图1和图2中的右半部分曲线对应着合理的高度和航向航程组合.合理指的是:第一段的推重比较大，因为借助初始较小的航迹角，大推重比可以更高效地消减水平速率，第二段使用小推重比可获得较好避障条件(获得较长的时间等).可能的高度和航程范围本身也是一个约束条件.

经计算推重比 p1取1.8～6，p2取0.1～1.3，是比较理想的取值范围，此范围内高度和航向航程分布如图3和图4所示.

图3和图4表明高度和航向航程随着p1的增加而减小，随p2的减小而减小;p2上限的边缘，高度和航程变化剧烈，其他部分平缓光滑，搜索算法容易准确地得到推重比组合.

优化后解的分布如图5和图6所示，其中图5中上半部分是p1的取值，下半部分是p2的取值，两部分在航向航程-高度平面上投影重合的部分就等效于图6所示的分布情况.

设计参考轨迹时，首先要求高度的匹配，特别是不希望整个下降过程中有高度上升的现象出现，缩小高度偏差的目的是减小燃耗;其次是航向航程的匹配，减小航向航程偏差的目的是靠近感兴趣的落点.

由于 p1的取值较大，且作用区间也比较大，因而主导了高度和航向航程的大小.通过图6变间隔仿真可以对比看出p1的间隔会影响曲线中点的疏密，p2的间隔会影响曲线簇的数目.这表明 p1对高度和航向航程起主导作用;p2作用引起的高度变化比航向航程更为明显.其原因在于p1作用区域内的航迹角较小，对水平速率的消减作用比对垂直方向

图1 高度随推重比分布

图2 航向航程随推重比分布

图3 高度差随推重比分布(优化后)

图4 航向航程随推重比分布(优化后)

图5 优化后解的分布图(三维)

3 仿真验证

3.1 Monte Carlo仿真

优化后的解空间亦可能存在局部极值，因此对求解算法有效性分析很有必要.本文按图7所示的速率的消减作用明显，p2则相反.

因此p1的间隔微调适合航向航程的精确匹配;p2的间隔微调适合高度的精确匹配.流程进行独立的1000次 Monte Carlo仿真试验，除推重比外，仿真的参数取值按表1;试验的算法可以描述为:

1)“初始值函数”通过随机函数构造参考推重比 p1和 p2，随机函数服从区间［1.8 6］和［0.1 1.3］的均匀分布;

2)“高度和航向航程函数”根据式(1)～(4)和表1给的参数值求解参考高度h和参考航向航程d;

3)“推重比辨识函数”遍历推重比，记为 pt1和pt2，它们的间隔分别采用0.01和0.001;

4)pt1和pt2代入“高度和航向航程函数”得到对应的高度ht和航向航程dt;

5)“推重比辨识函数”根据(h，d，ht，dt)求 It，其中:

6)如果当前的 It小于先前的 I:I=It，pi1=pt1，pi2=pt2;否则，继续第3)-6)步至遍历结束;

7)最终的pi1和pi2即为推重比的辨识结果，调用“高度和航向航程函数”得到对应的高度hi和航向航程di;

8)将辨识的结果(pi1， pi2， hi，di)与参考值(p1，p2，h，d)的差异进行比较，并作分布统计.

图6 优化后解的分布图(变间隔)

图7 Monte Carlo仿真流程

图8显示了构造的推重比、高度、航向航程与匹配出来结果的偏差值，表2显示了偏差分布的统计结果.从图8中可以看出，航向航程和高度的绝对值误差被限制在1km之内，p1的绝对误差在0.1之内，这佐证了p1对高度和航向航程起主导作用的结论，表2的统计量亦可以看出这一点.

图8 状态误差

表2 状态误差统计

仿真出现的偏差可以为实时制导消除，但是对于减少高度误差而言，经过反复的试验表明:可以通过在匹配指标中对高度进行加权，一个有效的办法是把指标设置为各自相对值的平方根;也可以缩短仿真间隔，特别是 p2的间隔，即提高高度匹配精度可通过平衡航向航程误差或者增加机时实现.

3.2 参数分布的影响

初始速率、终端速率、初始航迹角、终端航迹角和月球加速度的偏差影响解的分布.文献［7］对各参数偏差单独作用下的影响进行了仿真，仿真表明参数不确定产生的影响解不足以使整个设计方法失效.

本文根据文献［7］提供的一个类Apollo参考轨迹，使用上一节的算法得到如图9所示的仿真结果.图9中虚线是根据标称参数生成的参考轨迹剖面，实线是该算法匹配结果生成的轨迹剖面.

除末段的航迹角稍有偏差外，匹配得到的参考轨迹与标称参考轨迹在时间剖面上几乎一致，航迹角偏差的原因有两个:匹配法得到的推重比比标称推重比略大，因而需要较少的时间;另一个原因是航迹角在第二段对推重比更敏感.从仿真结果看，该方法对参数分布引起的状态不定具有鲁棒性，用它进行参考轨迹的设计是可行的.

图9 参考轨迹剖面对比图

4 结 论

本文通过优化解空间分布，简化了问题的求解，给出了优化后推重比的区间;Monte Carlo仿真证实了高度-航向航程匹配算法的有效性;非标称值下，选用了一条典型的参考轨迹证明了算法对于参数分布的鲁棒性，分析了参数分布的不确定性对参考轨迹设计的影响，优化后区间满足设计参考轨迹的需要.

不过一些问题有待进一步探索，问题包括:简化后解区间的连续性和单调性，选用更多的状态变量作为匹配准则;参数偏移对推重比的影响;粒子群、遗传算法等方法对匹配推重比的改进作用.

［1］ 王大轶.月球软着陆得制导控制研究 ［D］.哈尔滨:哈尔滨工业大学，2000

［2］ Citron S J， Dunin S E， Meissinger H F.A terminal guidance technique for lunar landing［J］.AIAA Journal， 1964， 2(3):503-509

［3］ Cheng R K，Meredith C M，Conrad D A.Design considerations for surveyor guidance［J］.Journal of Spacecraft and Rockets， 1966，3(11):1572-1573

［4］ McInnes C R.Nonlinear transformation methods for gravtity-turn descent［J］.Journal of Guidance， Control and Dynamics， 1996，19(1):1569-1576

［5］ McInnes C R.Gravity-turn descent from low circular orbit conditions［J］.Journal of Guidance， 2002， 26(1):183-185

［6］ Chomel C T.Development of an analytical guidance algorithm for lunar descent［D］.The University of Texas at Austin，2007

［7］ Allan R K.Apollo lunar-descent guidance［R］.Charles Stark Draper Laboratory MIT，1971， R-695

Study on an Analytical Reference Trajectory Algorithm for Lunar Soft Landing

DING Shujuan1，2， ZHANG Honghua1，2
(1.Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100190，China;2.Science and Technology on Space Intelligence Control Laboratory， Beijing 100190，China)

An algorithm to obtain a proper thrust-toweight ratio set by matching given altitude and downrange is proposed in this paper，and the set is essential for solving a reference trajectory which has been proven that no one analytical solution exists hitherto.On the basis of numerical simulation，the solving process is simp lified and the correlation between the thrust-toweight ratio and the needed altitude and downrange span is given.Furthermore，a Monte Carlo simulation is also designated to verify the validation of thismethodin dealing with the issue.As to the dispersion effect caused by parameter uncertainties，an Apollo-like trajectory chosen as a touchstone has demonstrated the robustness of the analytical algorithm.

lunar soft landing;reference trajectory;analytical algorithm

V4

A

1674-1579(2011)02-0049-05

10.3969/j.issn.1674-1579.2011.02.009

2011-01-06

丁书卷(1982-)，男，河南人，硕士研究生，研究方向为航天器制导与控制 (e-mail:bookroll@126.com).