一类二阶Emden-Fowler型中立型时滞微分方程的区间振动性

张 静, 陈 目

(1.广州市纺织服装职业学校,广东广州 510310; 2.广东体育职业技术学院,广东广州 510663)

一类二阶Emden-Fowler型中立型时滞微分方程的区间振动性

张 静1, 陈 目2

(1.广州市纺织服装职业学校,广东广州 510310; 2.广东体育职业技术学院,广东广州 510663)

对一类二阶Emden-Fowler型中立型时滞积分方程

利用Riccati技巧和积分平均法,给出了一些判定其解振动的充分判据.这些判据仅依赖于方程的系数在[t0,∞)的区间列的性质,而非整个[t0,∞)上的性质.最后,我们给出实例以阐述主要结果的有效性.

振动;中立型时滞微分方程;积分平均法

1 引 言

考虑到二阶Emden-Fowler型中立型时滞微分方程

这里x(t)=y(t)+p(t)y(t-τ).我们假设下面条件成立：

(A1)τ和σ1,σ2是非负常数,α,β是正的常数且0＜α＜1＜β;

(A2)q1,q2∈C([t0,∞),R+),R+=(0,+∞);

(A3)p∈C([t0-θ,∞],R),-1＜p0≤p(t)≤1,p0是一个常数.

我们默认,对任何φ∈C([t0-θ,t0],R),θ=max{τ,σ1,σ2},方程(1.1)有一个解y(t),满足初始条件y(t)≡φ(t),当[t0-θ,t0)时,并且延展到[t0,∞)(Hale[6]).出于振动性的环境考虑,我们关注方程(1.1)存在于[ty,∞)上的那些解y=y(t),且sup{|y(t)|∶t≥T}＞0,对任意T≥ty成立,并满足方程(1.1).如通常定义,方程的一个解称之为振动的,如果它有任意大的零点.否则就称为非振动的.如果方程(1.1)的所有的解都是振动的,则方程(1.1)称为振动的.对于方程(1.1),如果q1(t)≡0,称之为超线性,而当q2(t)≡0时,称之为次线性.

自20世纪70年代以来,随着以中立型泛函微分方程为数学模型的应用课题的大量涌现(如博弈论,细胞中酶反应动力学等),人们对中立型泛函微分方程的研究工作越来越重视,并取得长足的进展.中立型方程是一类形式相当广泛的泛函微分方程,有着广泛的应用背景,Hale[6]的末尾给出了许多实际应用实例.例如,中立型方程在高速计算机连接开关电路的无耗损传输网络中有着其实际应用背景,因而对中立型方程的解的性质的研究,不但对其本身的发展有着理论意义,而且在应用上同样有着重要意义.近30年以来,对中立型方程的振动性的研究,受到人们的广泛关注,并得到许多成果,见文献[1,3,5].最近,文[13]文献[2]和[4]关于二阶Emden-Fowler方程

正如文[13](注4)指出的,寻找方程(1.3)及其特殊形式的方程的振动性判定方法,仍然是十分有意义的.对Emden-Fowler中立型时滞方程

最近,Saker[10],Saker and Manojlivic[11],和徐[14]对方程(1.1),(1.3)和(1.4)给出了一些判定定理.然而,文[10,11,13,14]所建立的判定定理均涉及方程系数函数q,q1,q2在整个半直线[t0,∞)上整体性质.然而,Kong在文[8]中指出,方程的振动性问题,实际上是区间性质.即仅当研究方程的在一列有界区间列上性质,而无须考虑系数函数在[t0,∞)的其余部分的性质.这种性质的振动性定理称之为区间振动准则.Kong在[8]中对二阶线性方程

给出了第一个漂亮的区间振动定理.最近,Yang在[15]把文[5]的结果推广到了一类二阶中立型时滞方程.

本文受文献[8,9]的启发,借用Riccat技巧和平均积分技巧,给出了几个关于方程(1.1)的区间振动定理,也就是说,这里的准则仅依赖于方程(1.1)(或a(t),q1(t),q2(t))在区间[t0,∞)的子区间的性质.我们的结果改进和推广了[10,14]的成果,最后,我们给出两个实例,以说明本文结果的有效性.

2 主要结果

在这一节,我们将在条件0≤p(t)≤1和-1＜p0≤p(t)＜0下建立kong-type型振动定理.为符号简便,我们引入下列记号.

下面的引理将被用来证明方程(1.1)的振动准则,它的证明见[12]中引理1(α=1).

引理2.1 设A0,A1,A2∈C([t0,∞),R)),并且A2＞0,ω∈C1([t0,∞),R)).如果存在区间(a,b)⊂[t0,∞),使得

情形(C2).设y(t)是方程(1.1)的非振动解.不失一般性.我们假设y(t)＞0对t≥t0.进而,类似于文[15]的引理(12)证明,可存在t1＞t0使得(2.5)成立.进一步得,可找到T0使得(2.6)成立.注意到y(t)＞x(t),就有y(t-σ1)≥x(t-σ2),对t≥T0.由此可知,(1.1)可变形为

情形二：-1＜p0≤0.注意Q2(t)≥2q1(t).余下证明相似于情形一.因此,由定理2.5,方程(3.1)是振动的.

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Interval Oscillation Criteria for Second-order Emden-Fowler Neutral Delay Differential Equations

Z HA N G J ing1, C H EN Mu2
(1.Guangzhou Textile and Garment Vocational School,Guangzhou 510310,China; 2.Guangdong Vocational Institute of Sport,Guangzhou 510663,China)

By using a generalized Riccati technique and an integral averaging method,interval oscillation criteria are established for the second-order Emden-Fowler neutral delay differential equation

oscillation;neutral delay differential equation;integral averaging method

O175.13

A

1672-1454(2011)03-0124-07

2008-08-01;[修改日期]2009-06-08