S~3到CP~5中的等变弱LAGRANGIAN极小浸入

廖春艳

（湖南科技学院 数学与计算科学系，湖南 永州 425100）

S~3到CP~5中的等变弱LAGRANGIAN极小浸入

廖春艳

（湖南科技学院 数学与计算科学系，湖南 永州 425100）

研究3维球面 S3到复射影空间 C P5中的非常数截面曲率的等变弱Lagrangian极小浸入。关键词：复射影空间；等变；弱Lagrangian；极小浸入

通过黎曼的角度来研究Lagrangian子流形得到了许多有趣的结论， 2003年，黎镇琦在[2]中研究了常曲率的3维球面 S3到 C Pn中的极小浸入。在该文中，作者将 S3看成 S U ( 2)。利用 S U ( 2)的李群结构引入等变的定义，给出了 C Pn中两类常曲率等变极小 S3的例子。2003年，黎镇琦和陶永芊研究了 C P3中的等变 Lagrangian极小 S3[3]，得到了 C P3中等变Lagrangian极小 S3的完全分类和解析表达式.2005年，周燕飞和黎镇琦研究了3维球面 S3到复射影空间 C P4中的非常数截面曲率的等变弱 Lagrangian极小浸入，在该文中，作者假设浸入是完满的，应用等变映射的性质，证明了两个主要定理，分别给出了非常曲率的等变弱Lagrangian极小 S3的完全分类和解析表达式。

在本文中，我们讨论非常曲率的3维球面 S3到复射影空间 C P5中的等变弱Lagrangian极小浸入及其性质。

1 预备知识

设Sn= { x ∈ Cn+1| x,x = 1 }为单位球面,令ϕ : S3→ C P5是等变的弱 Lagrangian极小浸入，其诱导度量具有非常数曲率。采用[2]中的记号和定义,将 S3与 S U ( 2)等同，用 S U ( 2)表示 S3(= S U(2))上的左不变向量场全体的集合。

SU ( 2)∗表示 S3上的左不变1-形式全体的集合。既有ϕ : S3= S U ( 2) → C P5= U ( 6)/U ( 1)× U (5)。存在一个全纯同态 E : S3→ U (5), 使得，其中 π1:U (5) → CP5= U (6)/ U (1) × U (5)是自然投影。

根据[2]中命题4.2，有 S3上平凡丛的整体定义的酉标架{e ,e,e,e,e,e } ，使得

显然θAA是纯虚的,可记θAA=iρA,其中i=−1,ρA是实值1-形式。

设Ω是 C P5的形式.如果ϕ∗Ω=0,则称 是弱Lagrangian浸入，在本文中我们总假设:S3→CP4是等变弱Lagrangian极小浸入。

[1]Chen B. Y. Riemannian Geometry of Lagrangian Submanifolds [J]. Taiwanese J. Math. 2001, 4: 1-35.

[2]Li Z. Minimal S3with constant curvature in C Pn[J]. J. London Math. Soc. 2003, 68(2): 223-240.

[3]Li Z., Tao Y. Equivariant Lagrangian minimal S3in C P3[J]. Acta Math. Sinica. 2006, 22(4): 1197-1214.

[4]黎镇琦，周燕飞： S3到 C P4中的等变弱Lagrangian极小浸入[J].南昌大学学报，2005,10(29) 5:409-415.

O13

A

1673-2219（2011）12-0013-03

2011－09－10

湖南科技学院2010年校级课题“ ~Sm到 ~CP n中的等变弱Lagrangian极小浸入”项目编号[10XKYTC029]。作者简介：廖春艳（1984－），江西吉安人，湖南湖南科技学院数学与计算科学系教师，研究方向为基础数学教学。

(责任编校：何俊华)