在高等代数习题课教学中培养学生能力的探讨

李珍珠

（湖南科技学院 人事处，湖南 永州 425100）

在高等代数习题课教学中培养学生能力的探讨

李珍珠

（湖南科技学院 人事处，湖南 永州 425100）

本文就在高等代数习题课教学中如何提高学生整体认识能力、分析问题和解决问题的能力、运用高等数学观点解决初等数学问题的能力以及创新意识和科学研究能力等四个方面进行了探讨，并提出了相应的措施。

高等代数；习题课；数学实验；能力

高等代数是数学与应用数学、信息与计算科学专业的一门非常重要的专业基础课,它不仅是许多后继课程的基础,而且它具有高度的抽象性、整体性和计算的复杂性。正是由于它具有上述特点, 导致学生在学习过程中感觉困难, 觉得概念抽象、证明枯燥难懂，并且习题不会做，这就需要老师帮助学生掌握教学内容中的基本概念、结论、方法和技巧,上习题课就是一种比较好的方法。笔者认为通过习题课教学，可以在以下四个方面提高学生能力。

1适时系统整理知识体系，提高学生对数学知识的整体性认识能力

高等代数是由概念及定理的互相联系而构成的知识体系，在学习过程中，学生觉得很多概念、定理似曾相识又似是而非，为此，习题课教学时，应对前面出现过的概念与后面类似的概念进行比较，学生对概念的理解只有通过对知识的系统整理过程才能深化。比如学完欧氏空间概念后，就要及时把它与线性空间的概念进行比较，欧氏空间是实数域上的线性空间，并且欧氏空间比线性空间多规定了一种代数运算：内积运算.弄清楚欧氏空间和线性空间的异同后，还有助于帮助学生理解线性空间的同构和欧氏空间的同构这两个概念.只要将二者进行比较，学生就不难明白教材在定义欧氏空间的同构映射时，映射除了要象线性空间的同构映射一样保持向量的加法与数量乘法运算以外，还必须保持内积运算，从而对于两个同构的欧氏空间来说，作为线性空间它们一定同构.又如矩阵的关系有三种：等价、相似和合同，这三种关系分别涉及矩阵、二次型、线性变换、欧氏空间四章。在讲线性变换这一节习题时，就可以把矩阵的等价、相似和合同关系联系起来，通过分析让学生明白相似或合同的两个矩阵一定等价，但等价不一定相似或合同，而相似与合同没有必然联系；接着在讲实对称矩阵的标准形这一节习题时，抓住矩阵的对角化问题这一主线，就可以将矩阵的相似和合同关系完美地统一起来，从而使这几章的内容形成一个有机的整体，使学生加深了对概念的理解，还对已学过的概念有了一个更深层次的认识，可以使学生对数学知识形成一个整体性认识。

2适当引入数学实验思想，提高学生分析问题和解决问题的能力

数学教育家波利亚指出：数学教师的首要责任是尽其一切可能来发展他的学生们的解决问题的能力.因此，在习题课教学中，教师应对主要内容进行凝结、提炼，突出高等代数的理论应用特色，将抽象的理论与生产、生活中的实际问题结合起来，又通过对实际问题的处理和相关理论的寻求处理的方法，培养学生应用理论分析、解决具体问题的能力.因此，在习题课教学中，适当引入数学实验思想，可以提高学生分析问题和解决问题的能力。“由于数学与其它学科之间相互交叉，相互渗透，大量新兴的数学方法在科学研究和生产管理各领域中被成功应用，而传统的数学教学，重视数学公式的推导和数学理论的证明，但是却严重地和数学应用的实际脱离”。[2]因此，在习题课教学中，适当地引入数学实验的思想，引导学生将实际问题转化为数学模型，然后利用计算机和数学软件等工具来进行数学推导、演示和数值计算，通过具体的演算和直观的图形变化演示，可以激发学生学习数学和应用数学的兴趣。

例如，在欧氏空间中，用施密特正交化方法把一组基化为标准正交基时，这个方法学生往往不能很好地接受和理解，只能死记公式，如果教学中引入数学实验的思想，让同学们熟悉数学软件Matlab，并编写解决上面这个问题的相应Matlab 程序，利用程序来实验将欧氏空间中一般基变成标准正交基的方法，再把这个过程放到几何欧氏空间 R3中去演示，这样让学生融入一个有数又有形、有领悟又有创造的学习活动中，学生的学习兴趣自然提高了。

3注重高等数学与初等数学的联系，提高学生运用高等数学观点解决初等数学问题的能力

《高等代数》课程在学生进入大学的第一个学期开课，学生刚进入大学，正处于由中学到大学的心里和学习上的适应期。学生在学习中学数学时，习惯于形象思维，而大学代数是很注重讨论基础理论的, 这就要求学生尽快从中学数学的形象思维转向大学数学的抽象思维。因此在习题课教学时, 教师应紧密地引导学生把大学代数与中学代数知识联系起来, 从而使学生对中学代数学的有关内容有更加深刻的了解，帮助学生树立学好《高等代数》这门基础课的信心。因此在习题课教学中就有必要引导学生用大学代数理论居高临下处理中学数学教材, 发挥高等代数对中学数学教学的指导作用。

首先，要用初等数学的知识作基础，加强对高等代数的理解。例如，用消元法解线性方程组时，首先将中学学过的线性方程组的同解变换转换成矩阵的初等变换，由此得到一种用途广泛的解题方法——矩阵的初等变换法．接着可以引导学生归纳矩阵初等变换的多种用途——利用矩阵的初等变换法可以求解线性方程组，可以求矩阵的秩，可以求矩阵在等价关系和合同关系下的标准形，可以求逆矩阵，可以直接求解部分矩阵方程等．

其次，借助高等代数观点，深化对中学数学教材的认识。初等数学的习题多如汪洋大海，用高等数学的方法可以使我们居高临下地去观察初等问题，用高观点指导初等数学解题。比如初等数学中有这样一类不等式的证明：（1）设有两

表面上看来，这是一系列毫不相关的不等式，但从欧式空间的柯西—布涅柯夫斯基不等式这个观点去分析，其本质上都是柯西—布涅柯夫斯基不等式的特例。我们就可以从这一高度去统一它们的证明，思路将更为开阔，并能推广这些不等式以及找到更加广泛的应用。

4注意挖掘和引入问题，提高学生创新意识和科学研究能力

高等代数不仅是中学代数的继续和提高,也是现代数学的基础, 是研究数学其他分支和自然科学的基本工具. 在大学数学素质教育中，高等代数的理论和方法对培养学生的代数计算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力等都有十分重要的作用，同时对培养学生创新意识和科学研究能力有着得天独厚和不可估量的作用. 为此，习题课教学，应该带有强烈的研究意识。

数学大师陈省身先生说过：“数学系的学生，应在习题课上一起讨论一些有意思，又有一定难度的问题 。”因此，《高等代数》习题课，除了讲解一些普遍性的问题，更应通过挖掘、归纳、理解提出一些有较好学术价值的问题供学生讨论。

其次，还可以把一些讨论的数学热点问题引入课堂。例如，在“Eisenstein判别法的推广与应用”、“多项式的最大公因式的矩阵求法”和“正定矩阵的性质及其应用”等问题上还可以再推广、再引申，还有许多问题值得进一步探究。再比如，屠伯埙1999年在《数学学报》发表“亚正定阵理论”以来，引起了数学界的广泛关注，后来许多学者发表了一系列有趣的推广文章。以这些为事例，可以在习题课上引导学生，根据所学的有关知识，让学生明白如何查找文献，如何找研究课题，如何开展研究，有利于培养学生的研究意识，激发学生的研究兴趣，提高学生的科学研究能力。

[1]北京大学数学系.高等代数[M].北京:高等教育出版社，2003.

[2]张波,周山,邓志云.数学实验课的研究与认识[J].井冈山学院学报(自然科学版),2006,27(8):13-15.

[3]刘雪梅.浅谈“高等代数”习题课教学[J].高等数学研究，2008,11(4):99-100.

O13

A

1673-2219（2011）12-0001-02

2011－10－20

湖南省普通高校精品课程建设项目；湖南科技学院优秀教学团队建设项目。

李珍珠（1966－），女，湖南祁阳人，研究方向为数值代数。

（责任编校：何俊华）