2011年希望杯全国数学邀请赛初三竞赛二试模拟卷(二)

2011年希望杯全国数学邀请赛初三竞赛二试模拟卷(二)

一、选择题(共8小题，每小题5分，满分40分)

1．直四棱柱、长方体和正方体之间的包含关系是

( )

A. B. C. D.

2．由多项式乘法m(a+b+c)=ma+mb+mc，可得：(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3,我们把上述等式叫做多项式乘法的立方公式.下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是

( )

A．(x+4y)(x2-4xy+16y2)=x3+64y3B．(2x+y)(4x2-2xy+y2)=8x3+y3

C．(a+1)(a2+a+1)=a3+1 D．x3+27=(x+3)(x2-3x+9)

( )

图1

4．小毛和大毛各有一副三角尺和一个量角器(如图1),他们分别从自己这3件文具中随机取出1件,则可以拼成一个轴对称图案的概率是

( )

5．抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的二次函数解析式是

( )

A．y=-ax2-bx-cB．y=-ax2+bx-c

C．y=ax2-bx+cD．y=ax2-bx-c

( )

图2

7．如图2，点P是⊙O的弦AB上的一点，连结OP，过点P作PC⊥OP，PC交⊙O于点C，若BP=4,CP=8，则AP的长为

( )

A.10B.12C.14D.16

8．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按照一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2,ai∈{0,1}(i=0,1,2)，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⨁a1,h1=h0⨁a2，⨁运算规则为：0⨁0=0，0⨁1=1，1⨁0=1，1⨁1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是

( )

A.11010 B.01100 C.10111 D.00011

二、填空题(共8小题，每小题5分，满分40分)

9.如图3所示的图形是某些多面体的平面展开图,请写出它们的名称:

①____________;②____________;③____________;④____________.

图3

10．若0≤x≤1,且x2+y2=3，xy=1，则x-y=________.

11．在△ABC中,AB=AC,边AC上的中线BD把△ABC的周长分成12和18两部分，则△ABC各边的长为________.

12．有A,B,C三粒骰子，骰子A的6个面上分别刻有1,2,3,4,5,6；骰子B的6个面上分别刻有1,3,5,7,9,11；骰子C的6个面上分别刻有2,4,6,8,10,12.现将它们抛掷后，面朝上的3粒骰子上的点数和为12的概率是________.

图4 图5

14.如图4，⊙O与Rt△AOB的斜边交于点C,D,C,D恰是AB的2个三等分点.若⊙O半径的长等于5,则AB=________.

图6

16．如图6，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△Bn+1DnCn的面积为Sn,则S2=________；Sn=________(用含n的式子表示)．

三、解答题(共2小题，每小题20分，满分40分)

17．在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，对角线AC,BD相交于点O,∠ACD=60°,点P,Q,S分别为OA,BC,OD的中点．

(1)求证：△PQS是等边三角形;

(2)若AB=5，CD=3,求△PQS的面积；

(3)若△PQS的面积与△AOD的面积比是7∶8，求梯形上、下底的比CD∶AB．

18．已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1,与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,其中B(3,0),C(0,2).

(1)求这条抛物线的解析式.

(2)已知在对称轴上存在一点P,使得△PAC的周长最小(可不必证明),请求出点P的坐标.

(3)若点D是线段OC上的一个动点(不与点O、点C重合),过点D作DE∥PC交x轴于点E,连结PD,PE.设CD的长为t,△PDE的面积为S,求S与t之间的函数关系式,试说明S是否存在最大值.若存在,请求出这个最大值;若不存在,请说明理由.

参考答案

1．A 2．C 3．D 4．B 5．A 6．B 7．D 8．C

9.①长方体;②三棱柱;③三棱锥;④圆锥

图7

17．(1)证明如图7，连结PB，SC,容易证明△DAB≌△CBA，则

∠OAB=∠OBA.

又由∠ACD=60°，可知△COD,△AOB都是等边三角形.由PB⊥OA,得

同理可得

于是

(3)解设CD=a,AB=b(bgt;a),则

S△AOD∶S△COD=b∶a，

从而

又由S△SPQ∶S△AOD=7∶8，得

8S△SPQ=7S△AOD，

即

于是

2a2-5ab+2b2=0，

解得

b=2a，

从而

CD∶AB=1∶2．

图9

(2)连结BC,交对称轴x=1于点P,可知△PBC的周长最小.根据点B,C的坐标可得过点B,C的直线的一次函数解析式为

(3)由△OED∽△OBC，得

即

得

连结OP,得

S=S四形边PDOE-S△OED=

S△POE+S△POD-S△OED=

(供稿人：施 储)