符号化与变元表示思想的应用

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(镇海中学 浙江宁波 315200)

符号化与变元表示思想的应用

●周海军

(镇海中学 浙江宁波 315200)

数学思想指导着数学问题的解决.中学数学中用到的各种解题方法都体现了一定的数学思想，符号化与变元表示思想是一种最基本的数学思想.数学的高度抽象性与广泛应用性，使符号化的语言与变元表示思想成为数学中十分重要的思想．

符号化与变元表示思想是指将所研究的问题用数学符号与变元来加以表述，转化为形式化的数学问题后，按照形式符号的规律、规则来进行操作，直至问题的圆满解决.

在中学数学中，符号化与变元表示思想主要体现在函数与方程思想、换元方法、参数方法等内容上.

1 函数与方程思想

函数思想主要是指用函数的概念与性质去表述问题、分析问题和解决问题；方程思想主要是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程或不等式或它们两者的混和，然后通过解方程(组)或不等式(组)去解决问题．

在很多时候，函数与方程是可以相互转化的，譬如函数y=f(x)就可以看作关于x,y的二元方程f(x)-y=0.函数的研究离不开方程．

例1已知二次函数y=f1(x)的图像以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图像与直线y=x的2个交点间距离为8,f(x)=f1(x)+f2(x)．

(1)求函数f(x)的表达式；

(2)证明:当agt;3时,关于x的方程f(x)=f(a)有3个实数解．

(1)解设f1(x)=mx2.由f1(1)=1，得m=1,因此

f1(x)=x2．

故

(2)证法1由f(x)=f(a),得

即

ax2+a2x-8=0.

由agt;3,Δ=a4+32agt;0,得

因为

x2lt;0,x3gt;0,x1=agt;0，

所以

x1≠x2,x2≠x3．

若x1=x3,即

则

即

a4=4a,

解得

这与agt;3矛盾,于是

x1≠x3，

故原方程f(x)=f(a)有3个实数解．

说明第(2)小题是一个解方程的问题，需要对方程的根的大小进行讨论．而方程的解也可以转化为2个函数图像交点的横坐标问题，于是有下面的这种图像直观的证法.

图1

证法2由f(x)=f(a),得

即

当agt;3时,

所以f3(x)的图像在第一象限内存在一点(2,f(2))在f2(x)图像的上方．从而f2(x)与f3(x)的图像在第一象限有2个交点,即f(x)=f(a)有2个正数解．故方程f(x)=f(a)有3个实数解．

例2已知kgt;agt;bgt;cgt;0，求证：

k2-(a+b+c)k+ab+bc+cagt;0．

证法1令二次函数

f(x)=x2-(a+b+c)x+ab+bc+ca.

若alt;b+c，则当agt;bgt;cgt;0时，

Δ=(a+b+c)2-4(ab+bc+ca)=

a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca=

a(a-b-c)+b(b-a)+c(c-a)-2bclt;0,

因此结论成立．

f(k)≥f(a)=a2-(a+b+c)a+ab+bc+ca=

bcgt;0,

即结论得证 ．

证法2令g(x)=(x-a)(x-b)(x-c),则

k-agt;0,k-bgt;0,k-cgt;0,

因此

g(k)=k3-(a+b+c)k2+(ab+bc+ca)k-abcgt;0,

即

k3-(a+b+c)k2+(ab+bc+ca)kgt;abcgt;0.

由kgt;0，上式两边同除以k得

k2-(a+b+c)k+ab+bc+cagt;0.

说明这里采用构造函数的方法证明不等式.2种解法给出了2种构造函数的方法，但证法2更能体现问题的本质.

2 换元法

换元法是指通过把某个式子换成一个新字母表示，或把某个字母换为一个式子表示，借此将数学问题化繁为简、化难为易、化未知为已知的一种操作方式.本质上也是一种映射转移，对原给定的对象进行分解或实施复合，它的理论依据是等量代换．

例3求方程组

的所有实数解．

同理变换式(1)中的另两式，于是式(1)可化为

5yz(x+y)(x+z)=12xz(y+x)(y+z)=

13xy(z+x)(z+y).

(3)

作代换，令x(y+z)=a，y(z+x)=b，z(x+y)=c,可得

a+b+c=2,

(4)

因此

5bc=12ca=13ab，

可得

(5)

式(5)代入式(4)得

解得

k=15．

于是

得

从而

故原方程组有2组解：

解法2显然x，y，z同号．由式(2)得

代入式(1)得

即

5(z2+1)y=12(y+z)(1-yz).

同理可得

5(y2+1)z=13(y+z)(1-yz).

整理得

12y2z+17yz2=7y+12z,

18y2z+13yz2=13y+8z,

两式相加得

30yz(y+z)=20(y+z),

解得

代入式(1)，解得

z=±1．

故原方程组有2组解

例4设x1,x2是ax2+bx-a2=0(agt;0)的2个实数根，且|x1|+|x2|=2．若g(x)=ax2+bx-a2-2a(x-x1),证明：当x1lt;xlt;2，且x1lt;0时，|g(x)|≤4a．

证法1由x1,x2是方程ax2+bx-a2=0的2个根,可得

又由agt;0，得x1,x2异号，因此

g(x)=ax2+bx-a2-2a(x-x1) =

a(x-x1)(x-x2)-2a(x-x1)=

a(x-x1)(x-x2-2).

因为x1x2=-alt;0，且x1lt;0，所以x2gt;0，于是当x1lt;xlt;2时，

x-x1gt;0,x-x2-2lt;0.

由|x1|+|x2|=2，得

x2-x1=2,

说明题中变量较多.本解巧妙地对部分变量进行替换，使解法比较简洁.若消去x1,x2保留a，b,则会使解法变繁.

x2-x1=2，

从而

且

于是当x1lt;xlt;2时，

g(x2)≤g(x)lt;max{g(x1),g(2)}.

又

g(x2)=-4a，g(x1)=0，

所以

故当x1lt;xlt;2时，

-4a≤g(x)lt;0,

即

|g(x)|≤4a.

3 参数法

很多数学问题中都含有参数，有时是双参数问题，有时是多参数问题.参数本质上虽然属于变量,但又可以把它看成常量,是介于常量和变量的具有中间性质的量.正是由于参数的这种二重性和灵活性,在解决数学问题时,常可从不同的角度处理参数：引入参数,沟通题中各变量之间的内在联系；改变数量关系的结构,将求解问题转化为参数问题加以解决.

例5对任意-1≤a≤1，不等式x2+(a-4)x+4-2agt;0恒成立，则x的取值范围为________．

解依题意有x2+(a-4)x+4-2agt;0恒成立，即(x-2)a+x2-4x+4gt;0恒成立．令f(a)=(x-2)a+x2-4x+4，则f(a)在-1≤a≤1上的图像为线段.要求图像在x轴的上方，则只要求

解得

xlt;1或xgt;3．

说明在数学解题过程中，常量与变量、已知量与未知量的区分并不是绝对的：有时可把某数看作未知，某字母看作已知；有时可以将题中的参数作为主要变元来处理，往往会有意想不到的效果.

如果把x2+(a-4)x+4-2agt;0看作关于x的不等式，那么解决起来就比较麻烦.

若将这个不等式看作是关于x的不等式，则变为一个含参数a的不等式，可转化为(x-2)(x-2+a)gt;0，此时需要对参数a的值进行讨论：

若2-alt;2，即agt;0，则不等式的解为

xgt;2或xlt;2-a，

此式对所有0lt;a≤1都成立，从而xgt;2或xlt;1；

若2-agt;2，即alt;0，则不等式的解为

xlt;2或xgt;2-a，

此式对所有-1≤alt;0都成立，从而

xgt;3或xlt;2；

若2-a=2，即a=0，则不等式的解为x≠2.

综上所述，不等式x2+(a-4)x+4-2agt;0对任意-1≤a≤1恒成立，则xlt;1或xgt;3．

例6已知关于x的方程x3-ax2-2ax+a2+1=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围为________．

解对方程左边进行因式分解得

a2-ax(x+2)+(x-1)(x2+x+1)=0,

即

(x2+x+1-a)(x-a-1)=0.

从而

x=a+1或x2+x+1-a=0,

所以“有且只有一个实根”有如下2种情形：

(1)x2+x+1-a=0无解，其解为x=a+1，得

Δ=1-4(1-a)=4a-3lt;0；

(2)x2+x+1-a=0只有一个实根，且此根就等于x=a+1,即

Δ=4a-3=0,