逻辑学在《数学分析》教学中的应用

何先平，宋述刚

(长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)

逻辑学在《数学分析》教学中的应用

何先平，宋述刚

(长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)

在《数学分析》教学中，运用逻辑学的原理与方法，阐明《数学分析》的分析与综合方法，揭示极限等重要概念中的性质判断的定义结构，有助于突出教学重点，分解教学难点，使学生深入理解和掌握《数学分析》的基本概念与思想方法，从而提高《数学分析》的教学质量。

数学分析；逻辑学原理；分析；综合

在科学发展的初期，数学被包含在哲学的母体之中。逻辑学是研究思维的逻辑形式、基本规律与方法的学科，它与数学有着十分密切的关系。在它的发展过程中，不断借用数学的思想方法，反过来又促进数学的发展。《数学分析》是大学相关专业十分重要的基础课程，蕴含着丰富的逻辑思维原理与方法。《数学分析》充分运用了分析与综合的逻辑思维方法，其基本概念——极限的定义，被称之为典型的分析语言，即是分析与综合的体现，其中包含了一些全称判断与特称判断，由此构成一个复合判断。极限的概念与方法，贯穿于《数学分析》的始终，既是教学的重点，也是教学的难点，其教学历来受到特别的重视。因此，在《数学分析》教学中，运用逻辑学的原理与方法，对提高教学质量有着非常重要的意义。

1 分析与综合

分析法与综合法则是常用的普通逻辑思维方法。分析法就是把复杂的事物或过程分解成各个部分、局部或阶段，然后用孤立、静止的观点逐个对其研究，从而得出事物的微观性质；而综合法则是把事物的各个部分或阶段的微观性质有机整合在一起，把握事物的整体、宏观性质。通常人们往往将这两者先后结合起来，达到认识事物的目的。概念、判断、推理是思维的基本形式，因而数学概念就是教学中首先要注重的对象。《数学分析》的基本概念，例如极限、微分、积分的定义都采用了分析与综合的方法。下面以极限与定积分的概念为例说明。

|an-a|<0.1 |an-a|<0.01 |an-a|<0.002 …

对于上述每个变化阶段，用孤立、静止的观点研究它们，所得条件是自变量n必须大于某个正整数。这样的变化阶段有很多很多，它们具有上述类似的特征，运用逻辑量词符号，将其综合、概括起来即为：

∀ε>0,∃正整数N，当n>N时，都有|an-a|<ε

的近似值的极限值即为它的精确值。上述过程中的分割、近似即为分析，而作和、取极限则为综合，定积分的概念是分析与综合相结合的完美范例。

2 判断与否定判断

判断是对思维对象有所断定(即肯定或否定)的思维形式。数学中的判断大量存在于数学的概念与推理之中。在《数学分析》中，很多判断属于性质判断，即断定对象具有或者不具有某种性质的判断。如：①函数f(x)在区间(a,b)可导；②函数f(x)在区间[a,b]不可积。

性质判断按对象的数量划分，可分为单称判断、全称判断和特称判断；按性质划分，又可分为肯定判断与否定判断。否定一个全称判断，须用特称判断，而否定一个特称判断，则须用全称判断。

《数学分析》大多数基本概念的定义由全称判断和特称判断构成，如极限、上(下)确界、有(无)界函数、微分、积分等。这些概念都是教学的重点与难点。特别是教学之初就涉及到的极限概念，学生对其正概念，尤其是对其负概念中的“ε-N语言”、“ε-δ语言”的理解和掌握容易产生障碍，究其原因，笔者认为是教学中缺乏逻辑学的指导。

∀ε>0，∃正整数N，当n>N时，都有|an-a|<ε

这是一个复合判断。其中∀ε>0…引导一个全称肯定判断，而这个判断之中，又包含一个特称肯定判断：∃正整数N…，一个全称判断∀n>N…。

∃ε0>0，∀正整数N，∃n0>N，使得|an0-a|≥ε0

同理，数列{an}发散的定义为：

∀a∈R，∃ε0>0，∀正整数N， ∃n0>N，使得|an0-a|≥ε0

类似地，可以讨论各种类型的函数极限的定义及其否定形式。

此外，在逻辑推理(例如反证法)中，也经常涉及到全称判断和特称判断及其否定。

3 结 语

除了上面提到的逻辑学原理与方法以外，《数学分析》还大量运用了演绎推理、归纳推理、类比推理等逻辑推理论证方法与普通逻辑的基本规律，如同一律、矛盾律、排中律和充足理由律。学习与掌握一定的逻辑学知识，不仅可以促进数学的学习，而且可以指导数学的教学。

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M]. 第3版.北京：高等教育出版社，2001.

[2] 陈纪修.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2002.

[3] 吴家国.普通逻辑原理[M]. 北京：高等教育出版社，1994.

[4] 吴家国.普通逻辑述评[M].上海：上海人民出版社，1990.

[5] 宋述刚，陈忠.微积分理论中的辩证法规律与辩证思维方法[J].长江大学学报(自然科学版)，2005，2 (10)：385-386.

[6] 屈婉玲，耿素云，张立昂.离散数学[M].北京：清华大学出版社，2005.

[编辑] 洪云飞

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.02.047

N4

A

1673-1409(2011)02-0135-02

2010-12-24

何先平(1965-)，男，1985年大学毕业，硕士，副教授，现主要从事数理统计方面的教学与研究工作；E-mail:hexp@yangtzeu.edu.cn。