AS级Internet拓扑层次性分析与建模

郭虹，杨白薇，兰巨龙，刘洛琨

（1. 国家数字交换系统工程技术研究中心，河南 郑州 450002;

2. 信息工程大学 信息工程学院 通信工程系，河南 郑州 450002）

1 引言

近些年来，Internet的商业化行为促使互联网快速成长，现今 Internet已渗透到社会生活的方方面面。但是，人们对支撑各种网络应用的互联网拓扑的内在结构特征和演化规律的理解却远未成熟。当前全球范围内正掀起重新规划和设计新一代互联网的热潮，下一代互联网的研究和设计将秉承继承和发展的思路。需要对当前互联网的基础设施和行为进行充分、深入地认识。

基于拓扑测量，对互联网进行拓扑特征分析，从中提取出标识网络内在结构的主要特征，是有效利用和进一步指导网络建设的重要前提；利用拓扑分析结论模拟构建出网络拓扑，能为许多不便于在实体网络上开展的实验和协议开发、研究提供准确的网络仿真环境；而将模型生成的拓扑特征与实际网络进行对比、评估，能进一步加深人们对实际互联网拓扑的认识和理解[1,2]。

互联网拓扑按不同粒度划分为路由器级(RL,router-level)和自治域 (AS, autonomous system)级。与RL级相比，AS级位于更“高”一层，其特征与变化对互联网的影响更为巨大，相关研究对下一代网络的发展意义更为重大；而且AS 级规模相对RL级规模小得多，能够进行更深层次、更复杂的计算分析，以探究更为隐秘的客观特性和规律[2]。

自 20世纪末复杂网络研究兴起后，许多拓扑宏特征被定义以刻画拓扑结构的内在特性，包括节点度分布、平均路径长度、聚集系数、同配系数和富人俱乐部系数等。为了向互联网研究人员提供更准确的网络拓扑模型，拓扑建模研究者先后提出了大量的拓扑模型或生成算法，如随机网络模型、层次模型、小世界模型、幂律模型、局域世界模型等。其中，Waxman、Transit-Stub[3]、WS、BA、LW[4]、PFP[5,6]等模型比较著名。但是，早期的互联网拓扑建模研究受限于拓扑数据的获取，对拓扑的内在机理认识不足，且大多数模型侧重于对度优先偏好连接和幂律度分布的刻画，对实际互联网的其他拓扑特征刻画还存在一定的差距[7]。

“层次性”是互联网中普遍存在的基本特性之一。互联网的规划建设及商业模式特点使其呈现出明显的层次结构。了解、量化网络的层次性有助于人们更深入地认识互联网的内在拓扑特性，对于研究互联网的演化机制非常重要。早期基于对“层次性”的直观理解，将网络划分为 Stub域或 Transit域，提出了具有严格层次结构的互联网静态拓扑模型Transit-Stub[3]。文献[8]在研究了复杂网络中的层次组织后提出了层次模块性，并给出一种网络层次性的数学刻画——簇度相关性。为研究网络核心结构，文献[9]提出了核数以及k-core分解以量化节点的中心程度。文献[7,10]初步探讨了节点度与核数之间的关系，建立了静态的层次模型。

鉴于目前对AS级拓扑层次性分析、建模不足，本文基于对互联网实测数据的层次性分析，提出了一种对真实互联网AS级拓扑层次特征符合程度更逼近的建模方法，并通过计算机建模仿真分析说明其合理性及有效性。

2 AS级拓扑的层次性质

AS级拓扑可抽象为点和边组成的无向简单图，节点代表自治域(AS)，边则代表AS之间的BGP连接。AS级拓扑具有随机性、小世界现象、幂律性、聚集性、层次性和富人俱乐部现象等性质[1]。

2.1 度的高可变性

1999年，Faloutsos 3兄弟在对互联网数据分析时发现其拓扑的节点度分布表现出形如P(k)∝k-λ的幂律，在双对数坐标中近似为一条斜率为-λ的直线。幂律分布的发现颠覆了称霸多年的随机网络模型，揭示出互联网拓扑的一个重要性质——度的高可变性：即拓扑中节点度值的范围很大，大部分节点的连接度较小，少部分节点的连接度很大。度的高可变性揭示出在AS级拓扑中不同节点扮演不同的角色：少数的高度值节点成为Hub节点，负责全网的连通性，网络中存在层次性。

2.2 层次性

幂律是基于节点度对拓扑的局部描述，层次性则是对其的宏观描述。1997年，Paxson基于拓扑实测数据，提出基于节点度值将AS级互联网划分为4个层次，初步揭示了两者之间的内在联系。但是，度仅代表了最少的局部信息，基于节点度的层次性划分方法存在一定的偏差和主观性[11]。

2.3 簇度相关性

文献[8]在对复杂网络的实证研究中发现，受地理因素限制的网络缺乏层次性，例如美国西部电力网和路由器层网络；而AS级Internet中节点的地理位置因素不确定也不重要，具有明显的层次性，并给出了网络中层次性的定量刻画——簇度相关性，发现AS级拓扑的簇度关系近似为

其中，＜m(k)＞表示度为k的所有节点的邻居之间平均存在的边数，C(k)表示度为k的节点的平均簇系数[12]。

2.4 核数

一个图的k-核是指反复移除图中所有节点度小于等于k的节点及其连接的边，直到所有剩余节点的度都大于k所余下的子图[13]。

定义1 节点的核数：如果一个节点属于k-核，而不属于(k+1)-核，则该节点核数为k。节点的核数越大，越意味着该节点位于拓扑图的中心。

定义 2 图的核数：图中节点核数的最大值即为图的核数。

由定义1和定义2知，节点/图的核数能够标识出节点/子图在拓扑图中的深度，核数较节点度值具有更客观的层次性刻画能力。

3 AS级拓扑的层次性分析

本节基于AS级Internet拓扑的实测数据，对其进行层次性分析。

3.1 数据来源

AS级拓扑数据获取主要有2种方式：1) 基于BGP路由表和更新消息推测的被动测量方式，如量方式，将测量出的 IP路径映射为 AS路径，如但获取的仅是控制层面的拓扑，且由于ISP通常将BGP路由信息视作商业机密，通过推测BGP路由信息将无法获得ISP未对外公开的私有连接。主动测量相对难实现，但展现的是数据层面的拓扑。为客观分析AS级拓扑的层次性，本文采集、综合了取出2003年12月到2006年12月共7个真实的一个真实的AS级拓扑图。

3.2 基本拓扑特性

本节对上述数据集逐一进行拓扑特性分析，如表1所示。其中，N和E分别是拓扑图中总的节点数和边数；是平均节点度；是平均最短距离；＜C＞

由表1可知，随着时间的演化，真实互联网呈现指数的加速增长；网络同时具有小的平均最短距离和大的平均聚集系数，具有小世界效应；网络的同配系数 r≈-0.23，意味着低度值节点的邻居中大部分是高度值节点，低度节点倾向于和高度节点连接；k≤3的节点占全网的绝大多数，网络中不稳定的部分主要是度值为1的叶子节点。表1的分析结果与文献[20]的结论一致。

3.3 层次性分析

1) 拓扑图的核数与最高核

拓扑图的核数与最高核对于层次性分析具有重要意义。对上述数据集的核数与最高核情况进行络节点数，En为最高核内的连接数，Ep(为与最高核相关连接的比例。由表2可知，随着时间推移，Internet的网络规模不断增长，AS级拓扑图的核数2004年以后逐渐趋于28；最高核所含节点数占全体节点数的比例在0.182%～0.511%之间；最高核内连接数占全网总连接数的比例在 1.17%～3.05%之间；外部节点与最高核的相关连接占了全网总连接的很大一部分，在44.41%～54.95%之间。充分说明真实 AS级互联网中网络的核心很少突然出现或消失，近年来一直趋于稳定；最高核内连接稠密，影响力渗透到全网，决定并影响着网络的整体性能，非常重要。

表1 AS级Internet的基本拓扑特性

表2 AS级Internet的核数与最高核分析

2) 节点的核数-度分布

节点核数标识节点在拓扑图中的深度，拓扑图中各节点的核数与其度值之间存在着一定的关系，了解拓扑图中节点的核数-度分布是认识AS级拓扑层次性的一个重要度量。图1(a)给出ITDK0304数据集的节点核数-度分布，为双对数坐标。

图1 ITDK0304拓扑图的节点核数-度分布

由图1(a)可以看出真实AS级拓扑中各核数内节点的度值较为分散，度值越大的节点具有高核数的可能性越大，但是，即便一个节点的度数很高，它的核数也可能很小。为使两者之间的关系明晰，对相同度值，取全体节点核数的平均值，得到简化图，如图 1(b)所示。由简化图可以看出，AS级拓扑中低度值节点(k＜20)的核数与度值呈正相关；高度值节点(k＞120)主要集中于高核区域内，且随着度值的增加，节点核数不再增加；但部分高度值节点(20＜k<120)的核数散落于其他层。

3) 拓扑图的k-core分解

k-core分解是一种非常有效的提取网络中心部分的方法。为进一步研究AS级拓扑图中各核的细节，对上述数据集逐一进行k-core分解，记录各核内节点的数目 N(kc)、占全网节点数的比例 Np、平均度值＜k＞、平均连接数＜cn＞、各核所拥有的连接占全网总连接的比例E1、各核内部连接占该核所拥有连接的比例E2、各核与最高核的连接占该核所拥有连接的比例E3。

表3 ITDK0304数据集的k-core分解

由表3的k-core分解结果，可知以下几点。

① 随着 kc的增大，真实的 AS级拓扑图中各核子图的尺寸虽然有一些波动，但相较全网规模的增长各核节点比例几乎是稳定的；各核所拥有的连接占全网总连接的比例 E1也基本稳定，只在 kc=1,2,3处波动大一点，说明网络中不稳定的部分主要是低核数（也是低度值）节点。

② 核数较低(kc=1,2,3)的节点占总节点数的大部分(74.47%)，其余核数(kc＞3)节点数较少。

③ 最高核包含了大量的“度”，意味着最高核虽然只包含着少数节点，但都为高度值节点，0.5%的最高度值节点都在最高核内。

④ 与最高核有关的连接占据网络连接中相当大的一部分(58%)；最高核内部的连接只占该核所拥有连接的5.26%，其余大部都分散在与其他各核之间的连接上。说明最高核的影响力巨大，渗透到网络的各个核数内。

⑤ 与低核数节点相关的连接也占据了网络连接中的相当一部分(44.62%)，而这些核内部的连接只占核所拥有连接的的很小一部分(1.26%～4.3%)，其余部分均是与最高核的连接。

说明最高核影响力巨大，渗透到网络的各个核数内，对其的刻画将决定整个层次模型的成败。

4) 拓扑图的簇度分布

图2给出ITDK0304的簇度分布，表明在真实的互联网AS级拓扑图中C(k)与k之间确实存在着高度的负相关性，并随着k的增加而递减，递减的斜率大致在-0.75左右。但目前很多互联网拓扑模型并不能很好地再现这一负相关性。

图2 ITDK0304拓扑图的簇度分布

4 AS级拓扑层次建模

按据层次性分析结论，建立基于核数划分的AS级互联网拓扑层次动态演化模型 IAT-HDEM(Internet AS-level topology hierarchical dynamic evolution model)。

4.1 层次模型的关键

层次模型的关键在网络核心刻画与层次划分。

1) 网络核心刻画

网络核心即网络的最高核，尽管最高核内节点数很少，但最高核的影响渗透到网络的各个层次；且最高核随互联网演化已逐渐趋于稳定。对网络核心的刻画决定着层次模型的成败。如何刻画网络核心呢？按据上述数据集的 k-core分解统计结果，IAT-HDEM 模型的最高核数设为maxck=28；最高核内的节点数为 N28=N×0.294 5%，连接平均数为E28=E×2.113 8%。

鉴于最高核内都为高度值节点，由网络演化视角看，随着网络演化，不断进入网络的新节点按高概率与网络的核心节点连接。所以，在基于度择优偏好连接概率的动态网络演化模型中，初始网络内节点成长为高度值节点的概率很大，将网络核心设为初始网络。

2) 层次划分

节点的核数与其地位、规模正相关；节点核数较度值具有更客观的层次性刻画能力。表3表明：低核数节点(kc≤3)占据了网络中绝大部分节点数(74.47%)和连接数(44.62%)；最高核虽然节点比例很少(0.51%)，但与最高核相关的连接却占了全网连接的一半强(58%)，将最高核单独刻画；4～27，各核节点所占比例极低，且随着核数kc增加，影响力相当，将中间核层合并处理。

层次划分的设想如下：按照核数高低将网络内所有节点共划分为6个层次：Ω1（核数kc=1的节点集），Ω2（核数kc=2的节点集），Ω3（核数kc=3的节点集），Ω4（核数kc=4,5的节点集），Ω5（对应核数kc=6,7,…,maxck-1的节点集），Ω6（对应核数maxck的节点集，为最高核集Ωmax）。

在确定6个层次后，各层次内部的具体细节又如何？以ITDK0304数据集为例，对数据集进行层次分析，如表4所示。由表4可得到IAT-HDEM模型的思想：新节点进入网络按层次选择概率 H，选择相应的层次加入；再按各层间连接概率p选择目标节点层次；按偏好择优概率从目标层次中选择相应的宿主节点加边连接，实现网络的动态演化增长。

4.2 基于核数划分的AS级层次动态演化模型

为建立IAT-HDEM模型，并获得具体的模型参数，对上述数据集分别进行层次分析，并对相应参数进行算术平均，得到层次建模参数，如表5所示。由表5知，节点加入各层次的概率不同，差别很大；网络中各层内、层间节点间有相互连接，连接概率不尽相同；各层与网络核心层的连接相对于与其他层次的连接较多。

1) 模型算法

IAT-HDEM模型算法描述如下。

模型输入：N，E（期望的网络规模）。

模型输出：网络拓扑的邻接矩阵A。

模型初始化：建立6个层次集合Ωi，并按Hi确定各集合的最终大小：

网络演化过程如下。

Step1 产生初始网络。

m0=N×0.295%，e0=E×2.114%，初始网络节点间随机连接，并记录到A中，形成Ω6=Ωmax。因e0相较 m0而言稠密得多，能确保初始网络每个节点的度至少为1。

Step2 网络增长。

① 在每一个时间步增加一个新节点vn。

② 按概率Hi，i=1,2,…,6，选择新节点vn加入的层次i。当且仅当|Ωi|＜Ni时，新节点vn加入i层，vn∈Ωi；否则回到②。

例如，vn按概率选择第6层，因为初始网络已构建完成|Ω6|=N6，所以返回②重新选择vn加入的层次；由于新节点加入第6层的概率很小(0.263%)，此事件基本不可能发生。但考虑到在网络逐渐演化过程中，可能出现某一层次先加入完毕的情形，故做此处理。

③ 当 1≤i≤5时，为新节点增添 m条连接。从 vn节点出发，引出 m条边与宿主节点vhj(j=1,2,…,m)相连。对某个宿主节点 vhj的选择方法为：按概率pij选择宿主节点 vhj归属的目标层次j，vhj∈Ωj；如果j层次的|Ωj|≤3，则视目标层次节点集合为空，即刻为Ωj增加一个新节点vn'= vhj∈Ωj，连接vn与vn'，转入④。否则，从Ωj中按非线性择优出宿主节点 vhj，连接vn与 vhj。对vn节点重复此操作m次，完成新加入节点vn与不同层次不同节点间的m条连接。更新当前网络内的节点数。

④ 当③中目标层次的节点集合视为空时，为Ωj增加了一个新节点vn'∈Ωj，并连接了vn与vn'。为使对新节点的操作一致，还需要对vn'增加m-1条边。

重复上述过程，直至网络增长到期望规模N。

宿主节点的选择思想为：先选择宿主节点的层次，再从目标集合中按非线性择优概率选择宿主节点。为了突出和说明基于核数划分层次建模的有效性和合理性，IAT-HDEM模型简化了网络演化过程中存在的节点和边的消亡的模拟。

表4 ITDK0304数据集的层次分析

表5 IAT-HDEM模型层次建模参数

2) m的取值与概率

在IAT-HDEM模型中，对新加入各层的节点，为其分配的连接数为m。如果m的取值为固定值，则将导致各层次节点度值过于平均，违背了图1(a)所反映出的节点核数-度分布的散落性。为避免各层次节点度值过于平均，m的取值应与节点归属的层次有关且为变值。即使不同时间步内加入同一层次的不同新节点，其m连接数也应按概率有所不同。

以ITDK0304数据集为例。在第1层，核数kc=1，这层中99.11%的节点度都为1，但是该层也含有少量的度大于1的节点（0.77%的节点度为2，剩余节点度为3或其他）。这意味着，进入第1层的节点其连接数有可能为2或3，但还是以大概率可能为1。按次类推，能分析、计算出各层节点的度分布，进而得出进入各层的节点应以怎样的概率拥有怎样的连接数。据此处理，不仅能确保各层节点的平均连接数能与期望值接近，还能避免各层各节点连接数过于同一的情形。

具体IAT-HDEM模型中m的参数按据来自对上述数据集的统计平均。例如，第1层m的取值为1、2、3，对应概率分别为98.30%、1.60%、0.10%；第 2层 m的取值为 2、3、4、5、6、7，对应概率分别为 90.80%、5.60%、1.60%、0.70%、0.70%、0.60%；第3层m的取值为3～15；第4层m的取值为4～29；第5层m的取值为6～60。每一层m的取值范围，尽可能取到剩余节点所占概率和小于1%。

3) 择优连接概率

现有的大多拓扑模型，都以优先连接理论为基础，不同的是各模型的优先连接概率的计算公式。IAT-HDEM模型中在选定目标层次后，采用优先连接方法选择宿主节点，择优连接概率[7]为

现有的多种优先连接概率公式多以节点度值为计算基数，与之相比略有不同的是，式(2)的基数选取为节点度值与节点归属层次的＜m＞（各层的平均连接数）之差。这是因为，在层内优先连接开始时，各层内节点的度值相差不大，基本接近＜m＞，这使得一般的择优概率难以发挥作用，故要去除各层相应的＜m＞值后再进行择优。为确保选择概率不为0，选择二者之差+1作为计算基数。

4.3 算法复杂度分析

IAT-HDEM模型算法主要分为3步：新节点按层次选择概率选择相应的层次加入；再按各层间连接概率选择目标层次和在目标层次内按偏好择优概率选择相应的宿主节点；新节点与宿主节点间连边，实现网络的动态演化增长。所以其算法时间复杂度和空间复杂度均与网络规模相关。由于引入了一些概率模型，算法的复杂度分析较为复杂，但仍可以粗略地进行估算。

时间复杂度介于O(N)和O(N2)之间。该算法需要输出拓扑的邻接矩阵A；在算法执行过程中，需要存储相应的层次集合以及各节点对应的度和连接数等信息。所以，其空间复杂度约为 O(N2+N+2N)= O(N2+3N)。

可见，随着网络不断演化，每个时间步内新加入节点的处理耗时不断增加；当网络规模很大时，IAT-HDEM算法输出整体耗时在指数增长，与计算机仿真实验的结果一致。

5 计算机建模仿真分析

本文在MATLAB中实现了IAT-HDEM模型，将建模结果与实际网络进行比较以评价建模方法的优劣。

5.1 IAT-HDEM模型的宏特征

由于节点选择层次和宿主节点连接按概率发生，每次仿真得到的网络拓扑有所不同，本文采取多次实验取平均的方法来统计 IAT-HDEM 模型拓扑的宏特征。文中仿真结果均为 10次独立实验取平均，如表6所示。

由表6可以看出，IAT-HDEM模型在相同的参数下，在平均节点度、平均最短距离、平均集聚系数、网络的同配系数、Rich-club系数、图的核数、度为1，2，3的节点在网络中所占的比重方面与真实的AS级拓扑的宏特征接近。

表6 真实AS级拓扑图与IAT-HDEM模型的宏特征比较

5.2 IAT-HDEM模型的幂律特性

幂律特性是衡量拓扑模型性能的重要指标之一，图3为IAT-HDEM模型的节点度分布。

图3 I IAT-HDEM模型的节点度分布（N=5 000）

由图3可见，IAT-HDEM模型的节点度分布也呈幂律，且幂律指数并不随网络规模的增长而变化，图中直线为斜率-2.3的幂律曲线，IAT-HDEM模型在幂指数上拟合得也很好。这说明基于核数划分的层次动态演化模型在幂律特性方面也有突出表现，也从另一个侧面说明，增长与优先连接并非唯一决定网络拓扑幂律特性的重要因素，层次性也影响着网络的幂律特性。

5.3 IAT-HDEM模型的层次特性

图4给出IAT-HDEM模型的节点的核数-度分布，与图1对比，IAT-HDEM模型呈现出类似的节点核数-度分布趋势，略有不同的是，IAT-HDEM模型中高度值节点的核数整体偏小一些，这是由于实验网络规模所致。

图4 IAT-HDEM模型拓扑图的节点核数-度分布（N=5 000）

图5 给出IAT-HDEM模型的簇-度分布，与图2对比，IAT-HDEM模型呈现出明显的负的簇度相关性且斜率大致在-0.7左右，与文献[8]结论一致。这说明即使基于核数划分的 IAT-HDEM 模型也能呈现出传统意义上的层次性。图5进一步说明簇度的负相关性是增长网络模型内在固有的特性之一[21]。

图5 IAT-HDEM模型拓扑图的簇度分布（N=5 000）

计算机建模仿真分析表明，IAT-HDEM 模型能较好地模拟真实互联网AS级拓扑的宏特征、幂律特性和层次特性，是一种模拟互联网AS级拓扑层次的动态演化模型。该模型具有如下优点：1) 以实测量数据为背景，优化模型参数，对真实拓扑模拟较好；2) 模型既能够反映出AS级拓扑的层次性特性，同时又保留了其他多种特征；3) 该模型的提出，能够为Internet拓扑建模构建一个较为合理的框架，例如可以基于层次划分对AS间的商业关系进行建模。

6 结束语

本文基于对AS级Internet拓扑实测数据的层次性分析，提出了一种基于核数划分的AS级互联网层次动态演化模型(IAT-HDEM)。该模型以节点核数作为层次划分按据，是按照拓扑图自身内在的层次性进行划分，角度重更为合理、细致。计算机建模仿真分析表明，该模型能较好地模拟出真实互联网AS级拓扑的宏特征、幂律特性和层次特性。模型的提出，对进一步分析层次性质对网络拓扑的重要意义提出了思路；此外，该模型可以作为 AS级Internet网络拓扑建模的一个基本框架，在此框架基础上，可以继续刻画其他拓扑特性，例如AS级的商业关系；或者添加AS节点和边的生、灭描述等，这将是下一步的研究工作。基于测量建立拓扑模型，这正是互联网拓扑建模研究现阶段被忽略的，本论文的工作做了良好尝试，而模型参数的可测性会对模型价值产生重大影响，对于探究网络的演化机理意义重大。

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