一阶电路暂态过程及时间常数的教学研究

习友宝

(电子科技大学电子工程学院，四川成都610054)

“电路分析”课程中，直流一阶电路的暂态响应分析对于学生建立电路暂态过程的概念并进行定性和定量分析非常重要。但因为涉及到动态元件特性、换路特性、列写和求解微分方程等，将出现一些新的概念和方法需要认真理解。

1 电路分析教学中的几个问题

对电路与暂态响应分析部分的内容，大部分传统教学一般是以单回路的RC电路和单节点的RL电路为具体例子，通过对其建立微分方程并求解零输入响应、零状态响应，应用叠加定理得到全响应，最后总结出“三要素法”求解;对于一般形式的一阶电路，则应用戴维宁或诺顿定理化简为RC或RL简单电路再求解。对于含有多个同类动态元件(多个电容或多个电感)的电路，可能是一阶也可能是二阶或高阶电路，学生难以判断。时间常数是反映电路暂态过程的重要参数，还需从概念上理解［1，2]。

1)直流一阶电路

直流一阶电路是最简单的动态电路，从学生容易理解的角度，我们可以先从简单RC电路充放电过程开始［3]，演示RC电路中电容电压的变化规律。然后进入定性分析，从电压、电流和能量的角度解释波形变化规律。再进行定量分析，列写微分方程，结合初始条件求解。讲解零输入响应、零状态响应和全响应，以及微分方程的齐次解(通解)和暂态响应、特解和强制响应的概念。从微分方程的特征根引出时间常数的概念，指出时间常数是反映电路暂态特性的一个重要参数，它是由电路结构和电路参数本身所决定的，一阶电路的所有响应都具有相同的时间常数［4]，因此，应称为电路的时间常数，而不是电路中某个响应的时间常数。

2)换路的概念

教学中我们会涉及到换路的概念，以及基于替代定理用电容电压、电感电流替代电容、电感二端元件，得到不同时刻的等效电路等内容都是难点。需要指出电路中的状态变量(电容电压、电感电流)和非状态变量，它们的响应形式也可能不同。比如，非状态变量的零状态响应形式一般不是f(t)=f(∞)(1－e-t/τ)，因为其初始状态f(0+)可能不为零。在换路时刻，状态变量是连续的，非状态变量会出现跃变。因此，若换路发生在t=0时刻，状态变量表达式的时间条件可记为t≥0，而非状态变量只能记为t＞0或t≥0+。

3)关于“三要素法”

“三要素法”是得到一阶电路全响应的简便方法，也是教学的重点。为使学生更好地理解，需要讲透几个问题:如何引出和得到“三要素法”，为什么只是针对一阶电路;时间常数的概念;为什么状态变量和非状态变量都适用。

2 电路的阶数

一般教材上指电路中含独立动态元件的个数，也是对应微分方程的阶数。对于含有多个动态元件时，其中一种简单的情况是:多个同类动态元件具有很明显的串并联关系，可以等效为一个动态元件，是一阶电路。下面主要讨论另外两种情况。

图1所示为典型的具有高频补偿作用的RC阻容分压器电路，图中Us为理想直流电压源(假设在t=0时接入电路)，它们均含有两个电容元件，两图的差别仅在于回路中的电阻R0(可看成是Us的内阻)。那么这两个电容元件是否是独立的呢?它们是一阶还是二阶电路?该如何判断?

我们不妨对图1中两个电路以u2列写微分方程，分别得到

图1 关于电路阶数的说明

显然，式(1)对应的图1(a)为一阶电路，而式(2)对应的图1(b)为二阶电路。若在式(2)中令R0=0，则与式(1)相同，电路也就如图1(a)了。

式(1)对应的齐次方程特征根写为:p=－1/τ，τ=(R1//R2)(C1+C2)，即为该电路的时间常数。观察图1(a)发现，移除图中独立源Us(即令Us置为零)，得到的等效电路，就是R1、R2并联后与C1、C2并联，并由此可以很方便的得到时间常数。这与由齐次方程(令式(1)右边Us=0)特征根得到时间常数是一样的，这里特别注意到当令Us=0时两个电容元件具有可合并的特点。而对于图1(b)，同样移除图中独立源Us，由于R0的存在，两个电容不能通过串并联关系合并。因此，这两个电容就是独立动态元件，该电路也就是二阶电路了。

又如在图2所示的电路中假设直流电流源IS在t=0时接入电路。显然该电路含有两个不同类型的动态元件，它们是独立的。实际上，可以看成是两个独立的一阶电路:R1C和R2L电路所组成。图中i(t)和uo(t)响应的表达式形式应为

式中，t＞0，A=f(∞)，A1和A2为常数。

3 电路的时间常数

我们进一步观察式(1)，可见方程的右边即为u2(∞)，它就是方程的特解(强制响应)。若以f(t)表示方程中的变量u2，则有

图2 由两个独立的一阶电路构成的电路

式中，τ即为时间常数，可由式(3)对应的齐次方程特征根得到。注意式中f(t)前面的系数为1。

上式代表了直流一阶电路中所有响应的一般形式，再加上f(0+)初始条件，其解即为“三要素法”表达式:

式中，对状态变量时t≥0，对非状态变量时t＞0。

也就是说，“三要素法”实际上来自于式(3)所示的一阶电路微分方程通式的全解。

一阶电路与高阶电路其区别在于:一阶电路的暂态过程是单调的指数衰减过程(时间常数为正值);高阶电路的暂态过程为多个指数函数的线性组合(非单调函数)或以指数函数为包络的衰减震荡。高阶电路的暂态过程衰减时间也是由电路本身决定的，但是很难用一个“时间常数”参数来描述。

4 教学内容的实际应用

为了巩固所学的知识，我们可以列举如下三个RC电路的实际应用例子。

1)利用RC电路构成模拟积分/微分器。取电容与电压为积分输出，可实现输入信号的积分运算，并将输入直流电压量转换成时间量;取电阻上的电压为微分输出可得到输入波形的边沿。

2)由RC电路构成低通滤波器。一阶RC电路的3dB截止频率为f3dB=1我们还可从频域理解时间常数的特性。当时间常数较小时，从时域来讲，电路的暂态时间较短;从频域来讲，截止频率更高，带宽更大，对阶跃或方波信号输入，因为可以通过更高阶谐波的频率分量，使输出更接近输入波形。

3)利用RC电路实现信号延时。对电容电压的充放电波形经比较器后，可得到其延时波形，改变比较器的比较电平，可以改变延时时间。从时域来讲，由于暂态过程的存在，反映了RC电路的滞后特性;从频域来讲，反映了RC电路的相移特性。

［1] 李翰荪编.电路分析基础(第四版)［M] .北京:高等教育出版社，2006.5

［2] 胡翔骏编.电路分析［M] .北京:高等教育出版社，2007.1

［3] Allan H.Robbins，Wilhelm C.Miller.Circuit Analysis:Theory and Practice(Second Edition).——影印本.北京:科学出版社，2003.3

［4] 付永庆.怎样讲好一阶电路时间常数的概念［J] .南京:电气电子教学学报.2005.8，27(4):102～104