一种非线性PID控制器建模与仿真

厉兆慧，夏 洪

（东华理工大学 机械与电子工程学院，江西 抚州 344000）

由于PID控制器的简单、有效以及不依赖于被控对象数学模型的特点，PID控制技术在控制实践中的应用越来越广泛。但是，传统线性PID控制中，比例、积分和微分环节之间为线性组合，容易造成系统静态与动态性能、跟踪设定值与抑制扰动之间的矛盾。因此，有必要利用非线性特性来改造传统的PID控制器，以获得更高的控制性能。

本文通过分析PID各系数随系统误差信号的变化关系，分别给出了比例、积分和微分增益系数关于误差信号的连续非线性函数。然后，用这3个函数代替传统PID控制器的3个增益系数，从而获得非线性PID控制器的可用模型。

通过对二阶系统的数据仿真可以得出，非线性PID控制器可以改善传统PID控制器在快速性和稳定性方面的缺陷，并且所设计的非线性PID控制器能大大降低系统阶跃响应的上升时间，同时也证明了这类非线性PID控制器的有效性。

1 传统的PID控制器

PID控制器具有简单的控制结构，在实际应用中又较易于整定，因此它在工业过程控制中有着最广泛的应用，大多数PID控制器是现场调节的，现在有很多不同类型的调节率，利用这些调节率，可以对PID控制器进行精确而细致的现场调节。

PID控制器的数学模型

其中，Kp为比例系数，Ti为积分时间常数，Td为微分时间常数，Ki为积分系数，Kd为微分系数，其中。

因此，PID控制器的设计就是确定PID控制器的3个参数，采用Ziegler-Nichols整定法则，通过实验方法确定临界增益和相应的周期，则PID控制器的参数计算公式为

对于简单的PID控制器，上述参数一经整定，在整个过程中便要一直保持不变。这样的控制器很难同时满足跟踪设定值和抑制扰动的要求，也无法适应过程特性的变化，而且传统PID控制器中的线性组合常引起系统快速性与超调量之间的矛盾。

2 非线性PID控制器

要建立非线性PID控制器模型，最常用的方法是通过调整传统PID控制器的系数Kp，Kd和来建立模型，而修改PID控制器系数最主要的方法还是根据系统输出误差e的大小来生成函数Kp(e(t))，Ki(e(t))和 Kd(e(t))，然后以这三个非线性函数来代替传统PID控制器的系数。下面，可以通过分析系统的阶跃响应曲线(见图1)来构建非线性PID控制器的各环节的增益系数，从而获得非线性PID控制器的可用模型。

图1 一般系统的阶跃响应曲线

（1）比例系数Kp。比例系数的作用是能够提高系统响应速度,减小超调。想要达到既快速又稳定调节的目的，就必须在远离稳定值时，比例系数的绝对值应该大，而在稳定值附近时，比例系数的绝对值又应该很小。所以，在响应时间段0≤t≤t1，在初始时应该比较大，为了减小超调量，希望Kp随着误差e的减小而减小，在时间段t1

式中:ap，bp，cp为正实常数。 当 e→±∞ 时，取最大值 ap+bp，当e=0时，Kp取最小值ap，cp控制Kp的变化速率。

（2）积分系数Ki。积分环节的作用是消除系统的静态误差，如果积分系数过大会使系统的过渡过程变长。所以，当误差信号较大时，希望Ki较小，以防止系统产生震荡，有利于减小超调量；而当误差较小时，希望Ki增大，以尽快消除系统的静态误差。即Ki绝对值与e(t)绝对值变化方向相反。由此，可以得出积分系数Ki可表示为：Kie(t))=aisech(bie(t))

式中:ai，bi为正实常数； 当 e→±∞ 时，Ki取最小值 0，当e=0时，取最大值ap；bi的决定了Ki的变化速度。

（3）微分系数Kd。微分环节可以抑制超调量，增加系统阻尼，能起到提前校正系统的作用，但是会使系统的响应速度变慢。在0≤t≤t1时间段，Kd应逐渐由小变大，这样就可以在不影响系统响应速度的前提下，抑制超调的产生；在t1

式中:ad，bd，cd，dd为正实常数； 当 e→-∞ 时，Ki取最大值ad+bd，当 e→+∞ 时，取最小值 ad，当 e=0 时，Ki取值为 ad+bd/（1+cd）；dd决定了积分系数 Kd的变化速率。

由以上分析可知，如果非线性函数中的各项参数选择合适的话，能够使控制系统达到响应速度快，并无超调量的目的。由于非线性PID控制器中的各项增益系数能够随误差e的变化而变化，因此其鲁棒性也比传统的PID控制器强。

（4）非线性PID控制模型。在得出上面各模块的非线性函数Kp(e(t))，Ki(e(t))，Kd(e(t))之后,也就同时得出了非线性PID控制器的模型,即u(t)=[ap+bp(1-sech(cpe(t)))]e(t)+[aisech(bie(t))]

式中：ap，bp，cp，ai，bi，ad，bd，cd，dd均为正实常数。

3 仿真研究

为了验证非线性PID控制器的有效性，利用MATLAB分别对传统PID和非线性PID的单位阶跃响应进行了数值仿真，被控对象为典型的二阶系统，其传递函数为：

采用传统的Ziegler-Nichols规则整定固定增益的传统PID控制系数为:Ti=0.1，Td=0.025。

非线性PID控制器模型中的信号误差e随时间变化曲线如图2所示，非线性增益系数Kp，Ki，Kd随误差信号e的变化曲线如图3所示:

图2 误差e随时间变化曲线

图3 非线性系数随误差变化曲线

从图 3可以看出 Kp，Ki，Kd的变化规律符合 PID控制原理，所以具有很好的仿真效果。在上述系数条件下，传统PID控制器与非线性PID控制器的单位阶跃响应如图4所示。

图4 非线性PID与传统PID单位阶跃响应比较图

由图4可见，非线性PID控制器的阶跃响应速度明显优于传统固定增益系数的PID控制器的响应速度，非线性PID控制可以使系统快速稳定地收敛到给定的误差范围内，而传统的PID控制不能稳定地收敛，系统存在大幅度的振荡。可见，非线性PID控制比传统的PID控制有更大的优越性和广泛的适应性，可以应用于非线性系统中。

4 结语

本文利用一种非线性函数对传统PID控制器进行改造的方法，通过分析传统PID控制系数随系统误差e变化的关系，分别给出了比例、积分和微分增益系数关于误差信号的二次非线性函数，得到了比较灵活的增益策略，大大简化了3个增益系数的非线性函数模型。通过对二阶系统的阶跃响应仿真可以看出，所提出的非线性PID控制器比传统固定增益的PID控制器具有更好的动静态性能，并且对于某些被控对象具有比传统PID更好的调节性能及更大的稳定域。上述算法简单容易且实现，因此具有较高的实际应用价值。但是，如果从理论上分析其具体的适用范围、参数整定规则等，有待于进一步的深入研究。

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